Semigruppo C0

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In matematica, un semigruppo C0 è una generalizzazione della funzione esponenziale. Analogamente alle funzioni esponenziali, che forniscono soluzioni di equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti in , i semigruppi C0 forniscono soluzioni di equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti in spazi di Banach generici. Questo tipo di equazioni compare ad esempio nello studio delle equazioni differenziali alle derivate parziali.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Un semigruppo C0 su uno spazio di Banach è una mappa (l'insieme degli operatori lineari continui da in ) tale che

  1. ,   (operatore identità su )
  2. , as .

Le prime due condizioni sono di natura algebrica e affermano che è una rappresentazione del semigruppo ; l'ultima è topologica ed è equivalente ad affermare che è continua nella topologia operatoriale forte.

Generatore infinitesimale[modifica | modifica wikitesto]

Il generatore infinitesimale A di un semigruppo C0 T è definito come

dove esiste il limite. Il dominio di A, D(A), è l'insieme delle x∈X per le quali questo limite esiste; D(A) è un sottospazio lineare e A è lineare sul dominio.[1] L'operatore A è chiuso, ma non necessariamente limitato, e il dominio è denso in X.[2]

Il semigruppo C0 T con generatore A è spesso indicato con il simbolo eAt.

Semigruppo C0 uniformemente continuo[modifica | modifica wikitesto]

Un semigruppo C0 uniformemente continuo è un semigruppo C0 T tale che vale

.

In questo caso, il generatore infinitesimale A di T è limitato e abbiamo

e

Al contrario, ogni operatore limitato

è il generatore infinitesimale di un semigruppo C0 uniformemente continuo dato da

.

Un operatore lineare A è quindi il generatore infinitesimale di un semigruppo C0 uniformemente continuo se e solo se A è un operatore lineare limitato.[3] Se X è uno spazio di Banach finito-dimensionale, allora ogni semigruppo C0 è uniformemente continuo. Per un semigruppo C0 non uniformemente continuo il generatore infinitesimale non è limitato. In questo caso potrebbe non convergere.

Problema di Cauchy astratto[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri il problema di Cauchy astratto

dove A è un operatore chiuso su uno spazio di Banach X e x∈X. Sono possibili due definizioni di soluzione del problema:

  • una funzione differenziabile con continuità u:[0,∞)→X è detta una soluzione classica del problema di Cauchy se u(t) ∈ D(A) per ogni t > 0 e soddisfa la condizione iniziale,
  • una funzione continua u:[0,∞) → X è detta una soluzione debole del problema di Cauchy se

Ogni soluzione classica è anche soluzione debole. Una soluzione debole è una soluzione classica se e solo se è differenziabile con continuità.[4]

Il seguente teorema collega i semigruppi C0 con i problemi di Cauchy astratti.

Teorema[5] Sia A un operatore chiuso su uno spazio di Banach X. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

  1. per ogni x∈X esiste un'unica soluzione debole del problema di Cauchy astratto,
  2. l'operatore A genera un semigruppo C0,
  3. l'insieme risolvente di A è non vuoto e per ogni xD(A) esiste un'unica soluzione classica del problema di Cauchy.

Quando valgono le precedenti affermazioni, la soluzione del problema di Cauchy è data da u(t) = T(t)x dove T è il semigruppo C0 generato da A.

Teoremi di generazione dei semigruppi C0[modifica | modifica wikitesto]

Analogamente allo studio dei problemi di Cauchy, di solito l'operatore lineare A è dato e la domanda è se questo generi o meno un semigruppo C0. I teoremi che rispondo a questa domanda sono detti teoremi di generazione. Una caratterizzazione completa degli operatori che generano un semigruppo C0 è data dal Teorema di Hille-Yosida. Di maggiore importanza pratica sono le condizioni (molto più facili da verificare) del Teorema di Lumer-Phillips.

Stabilità[modifica | modifica wikitesto]

Stabilità esponenziale[modifica | modifica wikitesto]

Il growth bound di un semigruppo T è la costante

È così chiamata in quanto è anche il limite inferiore dell'insieme dei numeri reali ω tali che esiste una costante M (≥ 1) con

per ogni t ≥ 0.

Le seguenti asserzioni sono equivalenti:[6]

  1. Esistono M,ω>0 tali che per ogni t ≥ 0:
  2. Il growth bound è negativo: ω0 < 0,
  3. Il semigruppo converge a 0 nella topologia operatoriale uniforme: ,
  4. Esiste t0 > 0 tale che ,
  5. Esiste t1 > 0 tale che il raggio spettrale di T(t1) è strettamente minore di 1,
  6. Esiste p ∈ [1, ∞) tale che per ogni x∈X: ,
  7. Per ogni p ∈ [1, ∞) e ogni x ∈ X:

Un semigruppo che soddisfa queste condizioni equivalenti è detto esponenzialmente stabile o uniformemente stabile (in letteratura una qualsiasi tra le prime tre condizioni viene presa come definizione). Il fatto che le condizioni Lp sono equivalenti alla stabilità esponenziale è il teorema di Datko-Pazy.

Nel caso in cui X è uno spazio di Hilbert un'altra condizione in termini dell'operatore risolvente del generatore è equivalente alla stabilità esponenziale:[7] ogni λ con parte reale positiva appartiene all'insieme risolvente di A e l'operatore risolvente è uniformemente limitato sul semipiano destro, i.e. (λI − A)−1 appartiene allo spazio di Hardy (teorema di Gearhart-Pruss).

Lo spectral bound di un operatore A è la costante

,

con la convenzione che s(A) = −∞ se lo spettro di A è vuoto.

Il growth bound di un semigruppo e lo spectral bound del suo generatore soddisfano la seguente relazione:[8] s(A)≤ω0(T). The growth bound of a semigroup and the spectral bound of its generator are related by:[8] s(A)≤ω0(T). Ci sono esempi[9] in cui s(A) < ω0(T). La condizione s(A) = ω0(T) è detta spectral determined growth condition.

Stabilità asintotica[modifica | modifica wikitesto]

Un semigruppo C0 T è detto asintoticamente stabile se per ogni x ∈ X: .

La stabilità esponenziale implica la stabilità asintotica, ma l'inverso non è generalmente vero se X è finito-dimensionale (è vero per X finito-dimensionale).

Le seguenti condizioni sufficienti per la stabilità esponenziale sono contenute nel teorema di Arendt-Batty-Lyubich-Phong:[10] assumiamo che

  1. T è limitato: esiste M ≥ 1 tale che ,
  2. A non ha spettro residuo sull'asse immaginario, e
  3. Lo spettro di A contenuto nell'asse immaginario è numerabile.

Allora T è asintoticamente stabile.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Partington (2004) page 23
  2. ^ Partington (2004) page 24
  3. ^ Pazy, A. "Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations",p. 2. Springer,-Verlag, New York, 1983.
  4. ^ Arendt et al. Proposition 3.1.2
  5. ^ Arendt et al. Theorem 3.1.12
  6. ^ Engel and Nagel Section V.1.b
  7. ^ Engel and Nagel Theorem V.1.11
  8. ^ a b Engel and Nagel Proposition IV2.2
  9. ^ Engel and Nagel Section IV.2.7, Luo et al. Example 3.6
  10. ^ Arendt and Batty, Lyubich and Phong

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • E Hille, R S Phillips: Functional Analysis and Semi-Groups. American Mathematical Society, 1975.
  • R F Curtain, H J Zwart: An introduction to infinite dimensional linear systems theory. Springer Verlag, 1995.
  • E.B. Davies: One-parameter semigroups (L.M.S. monographs), Academic Press, 1980, isbn 0-12-206280-9.
  • Klaus-Jochen Engel e Rainer Nagel, One-parameter semigroups for linear evolution equations (Springer), 2000.
  • Wolfgang Arendt, Charles Batty, Matthias Hieber e Frank Neubrander, Vector-valued Laplace Transforms and Cauchy Problems (Birkhauser), 2001.
  • Olof Staffans, Well-posed linear systems (Cambridge University Press), 2005.
  • Zheng-Hua Luo, Bao-Zhu Guo e Omer Morgul, Stability and Stabilization of Infinite Dimensional Systems with Applications (Springer), 1999.
  • Wolfgang Arendt e Charles Batty, Tauberian theorems and stability of one-parameter semigroups (Transactions of the American mathematical society), 1988.
  • Yu Lyubich e Vu Quoc Phong, Asymptotic stability of linear differential equations in Banach spaces (Studia Mathematica), 1988.
  • Jonathan R. Partington, Linear operators and linear systems (Cambridge University Press), London Mathematical Society Student Texts, nº 60, 2004, ISBN 0-521-54619-2.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]