Teorema di Norton

Nell'ambito dei circuiti elettrici, il teorema di Norton è un teorema che afferma che un qualunque circuito lineare, comunque complesso, visto da due nodi A-B è equivalente ad un generatore reale di corrente costituito da un generatore ideale di corrente in parallelo con un resistore: l'equivalenza vale limitatamente alla tensione e alla corrente in corrispondenza dei nodi A-B. Pubblicato nel 1926 da Edward Lawry Norton, ingegnere dei Bell Labs, è il duale del teorema di Thévenin.

Enunciato

Generatore di corrente equivalente

Un circuito lineare tra i nodi A-B è equivalente a un generatore reale di corrente la cui corrente impressa $J_{eq}$ è pari alla corrente di cortocircuito ai nodi A-B ossia alla corrente che vi circola quando gli stessi vengano cortocircuitati e la cui conduttanza equivalente $G_{eq}$ è pari alla conduttanza che la rete presenta sempre in corrispondenza dei nodi A-B quando vengano annullati tutti i suoi generatori tramite la sostituzione dei generatori di tensione con cortocircuiti e dei generatori di corrente con circuiti aperti.

La conduttanza è data dal reciproco della resistenza: $G={1 \over R}$.

La conduttanza equivalente $G_{e}$ può anche essere ottenuta dalla relazione

• $G_{e}={J_{eq} \over E_{0}}$

nella quale $E_{0}$ rappresenta la tensione che si manifesta a vuoto in corrispondenza dei nodi A-B quando gli stessi vengano aperti.

Semplice dimostrazione del teorema di Norton

Dualità Thévenin-Norton: a sinistra è riportato il circuito equivalente di Thévenin, a destra quello di Norton.

Il teorema di Norton può essere facilmente dimostrato facendo leva sul teorema di Thévenin di cui è il duale.

Il teorema di Thévenin afferma che la tensione $V$ e la corrente $I$ presenti ai nodi A-B del circuito sono legate dalla relazione

• $V=E_{0}-R_{eq}I$

dove $E_{0}$ è la tensione che si manifesta a vuoto nei nodi A-B ossia quando il circuito venga aperto in corrispondenza degli stessi e dove $R_{eq}$ è pari alla resistenza equivalente che si vede dai nodi A-B guardando dentro il circuito dopo aver annullato i generatori in esso presenti.

Se moltiplichiamo entrambi i membri della relazione per $G_{eq}$ otteniamo:

• $VG_{eq}=E_{0}G_{eq}-R_{eq}G_{eq}I$

Questa formula può essere interpretata come la somma di tre correnti:

• $J_{G}=VG_{eq}$: corrente che circola nella conduttanza $G_{eq}$ quando nei nodi A-B è presente la tensione $V$ dovuta alla presenza del suo normale carico;
• $J_{eq}=E_{0}G_{eq}$: corrente che circola nella conduttanza $G_{eq}$ quando nei nodi A-B il circuito sia stato aperto;
• $R_{eq}G_{eq}I=I$: corrente di carico che circola in corrispondenza dei nodi A-B ($R_{eq}G_{eq}=1$ essendo l'una il reciproco dell'altra).

Abbiamo quindi:

• $J_{G}=J_{eq}-I$

dove $J_{eq}$ è proprio quella del generatore di corrente dell'enunciato del teorema di Norton, $I$ è la corrente di carico e $J_{G}$ è la corrente $VG_{eq}$ che circola nella conduttanza equivalente $G_{eq}$ a causa della tensione $V$. Tale formula si traduce nel circuito di destra della figura sopra riportata (c.v.d.).

Teorema di Norton simbolico

Afferma che una rete simbolica tra i nodi A-B è equivalente a un generatore reale simbolico di corrente la cui corrente impressa simbolica ${\bar {J_{eq}}}$ è pari al fasore della corrente di cortocircuito ${\bar {I_{cc}}}$ e la cui ammettenza equivalente ${\dot {Y_{eq}}}$ è pari all'ammettenza che la rete presenta sempre in corrispondenza dei nodi A-B, ovvero al rapporto tra la corrente di cortocircuito${\bar {I_{cc}}}$ e la tensione a vuoto ${\bar {E_{0}}}$ ai nodi A-B:

• ${\bar {J_{eq}}}={\bar {I_{cc}}}$
• ${\dot {Y}}_{eq}={\dot {Y}}_{i}={{\bar {I_{cc}}} \over {\bar {E_{0}}}}$

L'ammettenza equivalente è quella risultante ai nodi A-B quando la rete è resa passiva, avendo annullato i suoi generatori ideali simbolici di tensione e di corrente (sono posti uguali a zero tutti i fasori delle tensioni impresse e delle correnti impresse).

Calcolo del circuito equivalente

Il circuito originale.
Calcolo della corrente equivalente di uscita.
Calcolo della resistenza.
Il circuito equivalente.

Si consideri il circuito in figura di cui si vuole determinare il circuito equivalente di Norton calcolandone la corrente di cortocircuito $I_{cc}$ e la resistenza equivalente $R_{eq}$.

Per il calcolo della $I_{cc}$ si procede nel seguente modo:

1. si cortocircuitano i terminali di uscita;
2. si calcola la corrente che attraversa il cortocircuito la quale sarà pari alla corrente equivalente $I_{cc}$.

Per il calcolo della $R_{eq}$ si procede nel seguente modo:

1. si annullano i generatori di tensione sostituendoli con dei cortocircuiti e quelli di corrente sostituendoli con un circuito aperto;
2. si calcola la resistenza tra i terminali di uscita la quale sarà pari alla resistenza $R_{eq}$.

Il circuito equivalente sarà dunque composto da un generatore ideale di corrente $I_{cc}$ in parallelo a una resistenza $R_{eq}$, ai cui capi si trovano i terminali di uscita.

Nell'esempio riportato nelle figure a fianco, la corrente $I_{cc}$ si calcola come segue:

$I_{\mathrm {tot} }={15\mathrm {V} \over 2\,\mathrm {k} \Omega +(1\,\mathrm {k} \Omega \|(1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega ))}=5,625\mathrm {mA}$

$I_{cc}={1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )}\cdot I_{\mathrm {tot} }=3,75\mathrm {mA}$

La resistenza equivalente $R_{eq}$ sarà:

$R_{eq}=1\,\mathrm {k} \Omega +(2\,\mathrm {k} \Omega \|(1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega ))=2\,\mathrm {k} \Omega$

Il circuito equivalente di Norton sarà costituito da un generatore di corrente di 3,75 mA in parallelo a una resistenza di 2 kΩ.

Voci correlate

• Teorema di Thévenin
• Ammettenza

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