Teorema di Kakutani

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In matematica, il teorema di Kakutani, il cui nome si deve a Shizuo Kakutani, è un teorema di punto fisso che estende il teorema di Brouwer alle funzioni a più valori. Il teorema venne provato da Shizuo Kakutani nel 1941 e venne adoperato da John Nash nella sua prova di esistenza di un equilibrio di Nash; in seguito ha trovato una vasta applicazione nella teoria dei giochi e in economia.

Introduzione[modifica | modifica wikitesto]

Un'applicazione a più valori f da un insieme X a un insieme Y è una legge che associa uno o più elementi di Y ad ogni punto di X. Formalmente si può rappresentare come una funzione da X all'insieme delle parti di Y, e scritta come f : X \to 2^Y.

Dati due spazi metrici X ed Y, un'applicazione a più valori f : X \to 2^Y si dice "chiusa" se per ogni successione (x_n,y_n) con x_n\to x_0, y_n\to y_0 e y_n\in f(x_n), si ha y_0\in f(x_0).

Analogamente al caso delle funzioni tradizionali, per f : X \to 2^X una funzione a più valori il punto a \in X è un punto fisso di f se a \in f(a).

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Sia dato uno spazio euclideo X di dimensione finita, e sia K un sottoinsieme di X compatto, convesso e non vuoto. Sia f\colon K\to 2^K un'applicazione multivoca con le seguenti proprietà:

  • f è chiusa;
  • per ogni x\in K, \ f(x) è un sottoinsieme convesso non-vuoto di K.

Allora f ammette almeno un punto fisso in K.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Sia f(x) una funzione multivoca definita sull'intervallo chiuso [0, 1] che fa corrispondere al punto x l'intervallo chiuso [1 - x/2, 1-x/4]. Allora f(X) soddisfa tutte le ipotesi del teorema e deve avere almeno un punto fisso.

La funzione multivoca f\colon [0,1] \to 2^{[0,1]} che ad ogni x \in [0, 1/2] fa corrispondere il singleton \{ 1 \} e ad ogni x in [1/2, 1] fa corrispondere il singleton \{ 0 \}, soddisfa tutte le ipotesi del teorema di Kakutani, tranne quella di avere immagini convesse. Tale f non ha punti fissi.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Shizuo Kakutani, A Generalization of Brouwer's Fixed Point Theorem in Duke Mathematical Journal, vol. 8, nº 3, 1941, pp. 457–459, DOI:10.1215/S0012-7094-41-00838-4.
  • (EN) Nash, John "Equilibrium points in n-person games" Proceedings of the National Academy of Sciences 36 (1) (1950) : 48-49.
  • (EN) Kim C. Border, Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory, Cambridge University Press, 1989.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

  • Nash, Berge, Kakutani dimostrazione del teorema di esistenza dell'equilibrio di Nash e preliminari (file pdf, 18 pagg.)
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