Teorema di Kakutani

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In matematica, il teorema di Kakutani, il cui nome si deve a Shizuo Kakutani, è un teorema di punto fisso che estende il teorema di Brouwer alle funzioni a più valori. Il teorema venne provato da Shizuo Kakutani nel 1941 e venne adoperato da John Nash nella sua prova di esistenza di un equilibrio di Nash; in seguito ha trovato una vasta applicazione nella teoria dei giochi e in economia.

Introduzione[modifica | modifica wikitesto]

Un'applicazione a più valori da un insieme a un insieme è una legge che associa uno o più elementi di ad ogni punto di . Formalmente si può rappresentare come una funzione da all'insieme delle parti di , e scritta come .

Dati due spazi metrici ed , un'applicazione a più valori si dice "chiusa" se per ogni successione con , e , si ha .

Analogamente al caso delle funzioni tradizionali, per una funzione a più valori il punto è un punto fisso di se .

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Sia dato uno spazio euclideo di dimensione finita, e sia un sottoinsieme di compatto, convesso e non vuoto. Sia un'applicazione multivoca con le seguenti proprietà:

  • è chiusa;
  • per ogni , è un sottoinsieme convesso non-vuoto di K.

Allora ammette almeno un punto fisso in .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione multivoca definita sull'intervallo chiuso che fa corrispondere al punto l'intervallo chiuso . Allora soddisfa tutte le ipotesi del teorema e deve avere almeno un punto fisso.

La funzione multivoca che ad ogni fa corrispondere il singleton e ad ogni in fa corrispondere il singleton , soddisfa tutte le ipotesi del teorema di Kakutani, tranne quella di avere immagini convesse. Tale non ha punti fissi.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Shizuo Kakutani, A Generalization of Brouwer's Fixed Point Theorem, in Duke Mathematical Journal, vol. 8, nº 3, 1941, pp. 457–459, DOI:10.1215/S0012-7094-41-00838-4.
  • (EN) Nash, John "Equilibrium points in n-person games" Proceedings of the National Academy of Sciences 36 (1) (1950) : 48-49.
  • (EN) Kim C. Border, Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory, Cambridge University Press, 1989.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

  • Nash, Berge, Kakutani dimostrazione del teorema di esistenza dell'equilibrio di Nash e preliminari (file pdf, 18 pagg.)
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