Teorema di Gauss-Markov

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Il teorema di Gauss-Markov, così chiamato in onore dei matematici Carl Friedrich Gauss e Andrej Markov, è un teorema in statistica matematica che afferma che in un modello lineare in cui i disturbi hanno valore atteso nullo e sono incorrelati e omoschedastici, gli stimatori lineari corretti più efficienti sono gli stimatori ottenuti con il metodo dei minimi quadrati.

Enunciato del teorema[modifica | modifica wikitesto]

In termini più formali, si consideri un modello lineare in notazione matriciale:

dove e ; essendo:

il vettore degli stimatori dei minimi quadrati, qualunque stimatore alternativo ottenuto come combinazione lineare degli :

è tale per cui:

è una matrice semidefinita positiva.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri un generico stimatore lineare ; si decomponga la matrice come:

Si impone a questo punto che sia uno stimatore corretto, ossia:

Evidentemente, ciò è possibile solo se (e, ovviamente, ). La matrice varianze-covarianze di è data da:

poiché la correttezza di impone che . Nell'espressione sopra si riconosce la matrice varianze-covarianze degli stimatori dei minimi quadrati ; è immediato osservare che la matrice è semi-definita positiva, in quanto e:

così che la tesi del teorema risulta dimostrata.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Plackett, R.L. (1950). "Some Theorems in Least Squares". Biometrika 37 (1–2): 149–157. doi:10.1093/biomet/37.1-2.149. JSTOR 2332158. MR 36980.

Uso in fisica

  • L. Lyons, D. Gibaut, P. Clifford (1998). "How to combine correlated estimates of a single physical quantity". Nucl. Instr. and Meth. A270: 110.
  • L. Lyons, A. J. Martin, D. H. Saxon (1990). "On the determination of the b lifetime by combining the results of different experiments". Phys. Rev. D41: 982–985.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]