Lemma di Poincaré

In analisi matematica e calcolo vettoriale, il lemma di Poincaré, il cui nome si deve a Jules Henri Poincaré, afferma che se $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ è un aperto stellato di $\subset \mathbb {R} ^{n}$, e se la forma differenziale $\omega$ è chiusa in $A$, allora $\omega$ è esatta in $A$.

Per $n=3$, si ha che $\omega =F_{x}\mathrm {d} x+F_{y}\mathrm {d} y+F_{z}\mathrm {d} z$, è chiusa in $A$ se e solo se è nullo il rotore del campo vettoriale, cioè se risulta $\nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {0}$, ed il campo si dice irrotazionale.

Mentre per n=2, ω=adx+bdy è chiusa, se e solo se risulta da/dy=db/dx. Dove con a,b e c si intendono funzioni reali di classe C¹(A).

Voci correlate

• Campo irrotazionale
• Campo vettoriale
• Forma differenziale
• Potenziale
• Rotore (matematica)
• Insieme stellato

Collegamenti esterni

• Corrado Marastoni - Forme differenziali lineari e campi vettoriali (PDF), su math.unipd.it.