Supporto (matematica): differenze tra le versioni
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In [[matematica]], il '''supporto''' o '''sostegno''' di una [[Funzione (matematica)|funzione]] è la [[chiusura (topologia)|chiusura]] dell'[[insieme]] dei punti del [[dominio (matematica)|dominio]] dove la |
In [[matematica]], il '''supporto''' o '''sostegno''' di una [[Funzione (matematica)|funzione]] è la [[chiusura (topologia)|chiusura]] dell'[[insieme]] dei punti del [[dominio (matematica)|dominio]] dove la funzione non si annulla. |
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Nel caso di una [[curva (matematica)|curva]], il supporto è definito come l'[[immagine (matematica)|immagine]] della parametrizzazione della curva. |
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Nel caso di una [[misura (matematica)|misura]] <math>\mu </math> su uno [[spazio misurabile]] <math>(X,\mathcal{A})</math>, il supporto è definito come la chiusura del sottoinsieme di <math>X</math> i cui punti hanno la proprietà che ogni loro [[intorno]] ha misura positiva. |
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== Funzioni == |
== Funzioni == |
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allora il suo supporto <math>\Gamma </math> è l'[[insieme]]: |
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:<math>\Gamma = \{\mathbf{x} \in \R^n \, t.c. \, \exists t \in I,\, \mathbf{x}=\mathbf{r}(t) \} </math> |
:<math>\Gamma = \{\mathbf{x} \in \R^n \, t.c. \, \exists t \in I,\, \mathbf{x}=\mathbf{r}(t) \} </math> |
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:<math>\Gamma = \mathbf{r}(I) </math> |
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Si nota che per descrivere la curva non basta solo la sua parametrizzazione (o solo il suo supporto), ma necessariamente entrambi: a titolo di esempio, la curva <math>\gamma_1(t)=(\cos t,\sin t), t\in[0,2\pi]</math> e la curva <math>\gamma_2(t)=(\cos t,\sin t), t\in [0,3\pi]</math> hanno lo stesso supporto, ma la prima è chiusa e la seconda no. |
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==Supporto singolare== |
==Supporto singolare== |
Versione delle 14:34, 27 dic 2014
In matematica, il supporto o sostegno di una funzione è la chiusura dell'insieme dei punti del dominio dove la funzione non si annulla.
Nel caso di una curva, il supporto è definito come l'immagine della parametrizzazione della curva.
Nel caso di una misura su uno spazio misurabile , il supporto è definito come la chiusura del sottoinsieme di i cui punti hanno la proprietà che ogni loro intorno ha misura positiva.
Funzioni
Sia uno spazio topologico, e uno spazio vettoriale. Sia:
Si definisce supporto di l'insieme:[1]
Di particolare importanza in analisi sono le funzioni a supporto compatto.
Teoria della misura
Il supporto di una misura su uno spazio misurabile è la chiusura del sottoinsieme di i cui punti hanno la proprietà che ogni loro intorno ha misura positiva.
Sia uno spazio misurabile (con misura non negativa), allora:
Curve
Il supporto di una curva è definito come l'immagine della parametrizzazione della curva. Sia la parametrizzazione di una curva:
allora il suo supporto è l'insieme:
oppure, un po' meno formalmente, ma più immediato:
Si nota che per descrivere la curva non basta solo la sua parametrizzazione (o solo il suo supporto), ma necessariamente entrambi: a titolo di esempio, la curva e la curva hanno lo stesso supporto, ma la prima è chiusa e la seconda no.
Supporto singolare
Nell'analisi di Fourier, il supporto singolare di una distribuzione è intuitivamente definito come l'insieme dei punti in cui la distribuzione non è una funzione liscia. Per esempio, la trasformata di Fourier della funzione gradino di Heaviside può essere vista come la funzione eccetto per il punto : la trasformata possiede quindi un supporto singolare e non può essere espressa come una funzione, ma come l'applicazione del valore principale di Cauchy.
Note
Bibliografia
- Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.