Matrice trasposta: differenze tra le versioni

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In matematica, la matrice trasposta di una matrice è la matrice ottenuta scambiandone le righe con le colonne. Fu introdotta nel 1858 dal matematico britannico Arthur Cayley.^[1]

Definizione

La trasposta di una matrice $A$ è la matrice $A^{T}$ il cui generico elemento con indici $(i,j)$ è l'elemento con indici $(j,i)$ della matrice originaria. In simboli:

\left(A^{T}\right)_{ij}=A_{ji}\qquad \forall A\in \mathbf {K} ^{m,n}\quad 1\leq i\leq m,1\leq j\leq n

con $\mathbf {K} ^{m,n}$ lo spazio vettoriale delle matrici di dimensione n. In pratica, la matrice trasposta si deve intendere come una matrice in cui le colonne diventano righe e le righe diventano colonne.

L'operazione di trasposizione è definita sia su matrici quadrate che rettangolari, e quindi anche su vettori. In particolare, un vettore colonna trasposto è un vettore riga, e viceversa.

Una matrice che coincide con la propria trasposta è detta matrice simmetrica, e deve essere una matrice quadrata. Uno scalare può essere visto come un caso particolare di matrice simmetrica 1 × 1, ed è pertanto invariante alla trasposizione. Quindi, sebbene in generale date due matrici $A$ e $B$ di dimensioni opportune si abbia che:

(AB)^{T}=B^{T}A^{T}\neq A^{T}B^{T}

l'operatore di trasposizione è lineare, ovvero, dati due scalari $k$ ed $l$ , vale:

(kA+lB)^{T}=(kA)^{T}+(lB)^{T}=kA^{T}+lB^{T}

Più in generale, dati N scalari $k_{i}$ ed N matrici $A_{i}$ di pari dimensioni, vale:

\left(\sum _{i=1}^{N}k_{i}A_{i}\right)^{T}=\sum _{i=1}^{N}k_{i}A_{i}^{T}

dove $\sum$ indica una sommatoria.

Proprietà

Valgono le seguenti proprietà:

La trasposta della trasposta è la matrice stessa:

\left(A^{T}\right)^{T}=A

La trasposta della somma di due matrici è uguale alla somma delle due matrici trasposte:

(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}

L'ordine delle matrici si inverte per la moltiplicazione:

\left(AB\right)^{T}=B^{T}A^{T}

Questo risultato è facilmente estendibile al caso più generale, dove si considerano più matrici:

\left(ABC\dots XYZ\right)^{T}=Z^{T}Y^{T}X^{T}\dots C^{T}B^{T}A^{T}

Se $c$ è uno scalare, la trasposta di uno scalare è lo scalare invariato:

(cA)^{T}=cA^{T}

Nel caso di matrici quadrate, il determinante della trasposta è uguale al determinante della matrice iniziale:

\det(A^{T})=\det(A)

Il prodotto scalare tra due vettori colonna $\mathbf {a}$ e $\mathbf {b}$ può essere calcolato come:

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{T}\mathbf {b} ,

che può essere scritto usando la notazione di Einstein come

a_{i}b^{i}

.

Se $A$ ha solamente elementi reali, allora $A^{T}A$ è una matrice semidefinita positiva.
La trasposta di una matrice invertibile è ancora invertibile e la sua inversa è la trasposta dell'inversa della matrice iniziale:

(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}

Se $A$ è una matrice quadrata, allora i suoi autovalori sono uguali agli autovalori della sua trasposta.

Trasposta di applicazioni lineari

Se $V$ e $W$ sono due spazi vettoriali di dimensione finita sullo stesso campo e $f:V\to W$ è un'applicazione lineare, si può definire l'applicazione duale di $f$ come la mappa $f^{*}:W^{*}\to V^{*}$ tra gli spazi duali $W^{*}$ e $V^{*}$ definita da:

f^{*}:\varphi \mapsto \varphi \circ f\qquad \forall \varphi \in W^{*}

Fissate due basi $E$ e $F$ di $V$ e $W$ rispettivamente, si dimostra che se $A$ è la matrice associata a $f$ rispetto tali basi allora la matrice associata a $f^{*}$ rispetto alle basi duali di $E$ e di $F$ è la trasposta di $A$ .

Ogni applicazione lineare $f:V\to V^{*}$ che mappa nello spazio duale definisce una forma bilineare $B:V\times V\to F$ mediante la relazione:

B(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=f(\mathbf {v} )(\mathbf {w} )

Definendo la trasposta di tale funzione come la forma bilineare $^{t}B$ data dalla mappa trasposta $^{t}f:V^{**}\to V^{*}$ :

^{t}B(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=^{t}f(\mathbf {v} )(\mathbf {w} )

si trova che $B(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=^{t}B(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )$ .

Esempi

A={\begin{pmatrix}2&4&8\\3&2&0\\5&3&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\quad A^{T}={\begin{pmatrix}2&3&5&0\\4&2&3&1\\8&0&1&0\end{pmatrix}}

${\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}^{T}\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{T}\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{T}\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;$

${\begin{bmatrix}1&2&8\\3&4&3\\5&6&1\end{bmatrix}}^{T}\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\\8&3&1\end{bmatrix}}\;$

Idea di calcolo: ruotare la matrice $A$ di 90° antiorario, dopodiché effettuare lo specchio di quest'ultima (nel primo esempio: la riga 2 rimane invariata, mentre la riga 1 e 3 vengono scambiate della matrice $A$ ruotata di 90°).

Note

^ Arthur Cayley (1858) "A memoir on the theory of matrices," Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 148 : 17-37. The transpose (or "transposition") is defined on page 31.

Bibliografia

(EN) F.R. [F.R. Gantmakher] Gantmacher, The theory of matrices , 1 , Chelsea, reprint (1959) pp. 19

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) O.A. Ivanova, Transposed matrix, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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[1] Arthur Cayley (1858) "A memoir on the theory of matrices," Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 148 : 17-37. The transpose (or "transposition") is defined on page 31.

[1]

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 con <math>\mathbf{K}^{m,n} </math> lo [[spazio vettoriale]] delle matrici di dimensione ''n''. In pratica, la matrice trasposta si deve intendere come una matrice in cui le colonne diventano righe e le righe diventano colonne.
-L'operazione di trasposizione è definita sia su matrici quadrate che rettangolari, e quindi anche su [[Vettore (matematica)|vettori]]. In particolare, un [[vettore colonna]] trasposto è un vettore [[riga]] e viceversa.
+L'operazione di trasposizione è definita sia su matrici quadrate che rettangolari, e quindi anche su [[Vettore (matematica)|vettori]]. In particolare, un vettore colonna trasposto è un vettore riga, e viceversa.
-Una matrice che coincide con la propria trasposta è detta [[matrice simmetrica]], e deve essere una matrice quadrata. Uno [[scalare]] può essere visto come un caso particolare di matrice simmetrica ''1 × 1'', ed è pertanto invariante alla trasposizione. Quindi, sebbene in generale date due matrici <math>A</math> e <math>B</math> di [[prodotto tra matrici|dimensioni opportune]] si abbia che:
+Una matrice che coincide con la propria trasposta è detta [[matrice simmetrica]], e deve essere una matrice quadrata. Uno [[Campo (matematica)|scalare]] può essere visto come un caso particolare di matrice simmetrica ''1 × 1'', ed è pertanto invariante alla trasposizione. Quindi, sebbene in generale date due matrici <math>A</math> e <math>B</math> di [[Moltiplicazione di matrici|dimensioni opportune]] si abbia che:
 :<math>(AB)^T = B^T A^T \ne A^T B^T</math>
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 == Trasposta di applicazioni lineari ==
-{{vedi anche|Trasformazione lineare|Spazio duale}}
+{{vedi anche|Spazio duale|Base duale}}
-Se <math>V</math> e <math>W</math> sono due [[spazi vettoriali]] di dimensione finita sullo stesso campo e <math>f : V \to W</math> è un'applicazione lineare, si può definire l'applicazione ''duale'' di <math>f</math> come la mappa <math>f^* : W^* \to V^* </math> tra gli spazi duali <math>W^*</math> e <math>V^*</math> definita da:
+Se <math>V</math> e <math>W</math> sono due [[spazi vettoriali]] di dimensione finita sullo stesso campo e <math>f : V \to W</math> è un'[[Trasformazione lineare|applicazione lineare]], si può definire l'applicazione ''duale'' di <math>f</math> come la mappa <math>f^* : W^* \to V^* </math> tra gli spazi duali <math>W^*</math> e <math>V^*</math> definita da:
-:<math>f^* : \varphi \mapsto \varphi \circ f</math>
+:<math>f^* : \varphi \mapsto \varphi \circ f \qquad \forall \varphi \in W^*</math>
-Fissate due basi <math>E = (\mathbf e_1, \ldots,\mathbf e_m)</math> e <math>F=(\mathbf f_1, \ldots, \mathbf f_n)</math> di <math>V</math> e <math>W</math> rispettivamente, si dimostra che se <math>A</math> è la matrice associata a <math>f</math> rispetto tali basi allora la matrice associata a <math>f^*</math> rispetto alle [[Base duale|basi duali]] di <math>E</math> e <math>F</math> è la trasposta di <math>A</math>.
+Fissate due basi <math>E</math> e <math>F</math> di <math>V</math> e <math>W</math> rispettivamente, si dimostra che se <math>A</math> è la matrice associata a <math>f</math> rispetto tali basi allora la matrice associata a <math>f^*</math> rispetto alle basi duali di <math>E</math> e di <math>F</math> è la trasposta di <math>A</math>.
+Ogni applicazione lineare <math>f : V \to V^*</math> che mappa nello spazio duale definisce una [[forma bilineare]] <math>B : V \times V \to F</math> mediante la relazione:
+:<math>B(\mathbf v, \mathbf w)=f(\mathbf v)(\mathbf w)</math>
+Definendo la trasposta di tale funzione come la forma bilineare <math>^t B</math> data dalla mappa trasposta <math>^t f : V^{**} \to V^*</math>:
+:<math>^t B(\mathbf v, \mathbf w)=^t f(\mathbf v)(\mathbf w)</math>
+si trova che <math>B(\mathbf v, \mathbf w)=^t B(\mathbf v, \mathbf w)</math>.
 == Esempi ==
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 ==Voci correlate==
+* [[Base duale]]
+* [[Forma bilineare]]
 * [[Matrice]]
 * [[Matrice simmetrica]]
 * [[Trasformazione lineare]]
+* [[Spazio duale]]
 ==Collegamenti esterni==

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Proprietà

Trasposta di applicazioni lineari

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