Gravità quantistica a loop

La gravità quantistica a loop (LQG, dal termine inglese Loop Quantum Gravity), conosciuta anche coi termini di gravità a loop, geometria quantistica e relatività generale canonica quantistica, è stata proposta quale teoria quantistica dello spazio-tempo che cerca di unificare le teorie della meccanica quantistica e della relatività generale.

Fa parte di una famiglia di teorie chiamata gravità canonica quantistica ed stata sviluppata in parallelo con la quantizzazione a loop, una struttura rigorosa della quantizzazione non perturbativa della teoria di gauge a diffeomorfismo invariante. In parole semplici è una teoria quantistica della gravità in cui il vero spazio in cui accadono tutti gli altri fenomeni fisici è quantizzato. Essa conserva gli aspetti fondamentali della relatività generale, come ad esempio l'invarianza per trasformazioni di coordinate, e allo stesso tempo utilizza la quantizzazione dello spazio e del tempo alla scala di Planck, caratteristica della meccanica quantistica; in questo senso combina le due teorie. Tuttavia non è una ipotetica teoria del tutto, in quanto non affronta il problema di dare una descrizione unificata di tutte le forze fondamentali, ma descrive unicamente le proprietà quantistiche dello spaziotempo, e quindi della gravità.

I critici della LQG fanno spesso riferimento al fatto che non predice l'esistenza di ulteriori dimensioni dello spazio tempo, né la supersimmetria. La risposta dei suoi fautori è che allo stato attuale, nonostante ripetute ricerche sperimentali, non vi è alcuna evidenza di altre dimensioni né di particelle supersimmetriche, che devono essere considerate solo ipotesi speculative.

Esistono altre teorie ricomprese sotto la voce Gravità quantistica.

Gravità quantistica a loop in generale e le sue aspirazioni

I maggiori successi della gravità quantistica a loop sono:

1. è una quantizzazione non perturbativa della geometria a 3 dimensioni, con operatori quantizzati di area e di volume;
2. include il calcolo dell'entropia dei buchi neri;
3. è basata su un formalismo matematico rigoroso.

La teoria ammette anche una formulazione covariante, chiamata a "schiuma di spin" (spinfoam).

L'incompatibilità tra meccanica quantistica e relatività generale

La teoria quantistica dei campi applicata in uno spazio-tempo curvo (quindi non minkowskiano) ha dimostrato che alcuni dei suoi assunti fondamentali non possono essere riportati. In particolare, il vuoto, quando esiste, appare dipendere dalla traiettoria dell'osservatore attraverso lo spazio-tempo (effetto Unruh).

Vi sono state, in passato, due reazioni all'apparente contraddizione tra la teoria dei quanti e l'indipendenza dal background della relatività generale. La prima è che l'interpretazione geometrica della relatività generale non è fondamentale ma "risultante". La seconda è che l'indipendenza dal background è fondamentale e la meccanica quantistica necessita di essere generalizzata per definire dove non vi è un tempo stabilito a priori.

La LQG è un tentativo di formulare una teoria quantistica indipendente dal background. Si riporta la seguente nota esplicativa.

Nelle teorie della relatività ristretta e della gravitazione, la geometria di riferimento è continua: ragionando in una sola dimensione (anziché in 3), dati due punti distinti A e B, sicuramente esiste un punto A' intermedio tra A e B; e a sua volta, esiste un punto A'' intermedio tra A e A', e un punto intermedio A''' tra A e A'' e così via all'infinito. Nella LQG, invece, la geometria di riferimento è quantizzata: andando a fare la stessa operazione di suddivisione tra A e B, tra A e A', tra A e A'' si arriverà alla situazione di avere due punti A e A^ tra i quali non è presente nessun altro punto. Tornando alle tre dimensioni spaziali, ciò significa che partendo da un volume e suddividendolo in volumetti sempre più piccoli, c'è un valore minimo di volume che non si può suddividere in volumetti più piccoli.

Storia della LQG

Nel 1986 il fisico indiano Abhay Ashtekar ha riformulato le equazioni di campo della relatività generale di Einstein usando ciò che oggi è conosciuto col nome di variabili di Ashtekar, una variante particolare della teoria di Einstein-Cartan con una connessione complessa. Nella formulazione di Ashtekar i campi fondamentali sono una regola per il trasporto parallelo (tecnicamente, una connessione) ed una struttura di coordinate (dette un vierbein) ad ogni punto. Dal momento che la formulazione di Ashtekar era indipendente dal background, è stato possibile utilizzare i loop di Wilson come base per la quantizzazione non perturbativa della gravità. L'invarianza del diffeomorfismo esplicito (spaziale) dello stato di vuoto gioca un ruolo essenziale nella regolarizzazione degli stati del loop di Wilson.

Intorno al 1990 Carlo Rovelli e Lee Smolin hanno ottenuto una base esplicita degli stati della geometria quantistica che è stata denominata "rete di spin". In questo contesto le reti di spin si sono presentate come una generalizzazione dei loop di Wilson necessarie per trattare i loop che si intersecano reciprocamente. Dal punto di vista matematico le reti di spin sono correlate alla teoria del gruppo di rappresentazione e possono essere usate per costruire invarianti di nodi come il polinomiale di Jones.

Divenendo strettamente correlata alla teoria quantistica topologica dei campi e alla teoria della rappresentazione di gruppo, la LQG è per la maggior parte costruita ad un livello rigoroso di fisica matematica.

I costituenti della LQG

Quantizzazione a loop

Il cuore della gravità quantistica a loop è rappresentato da una struttura per la quantizzazione non perturbativa delle teorie di gauge a diffeomorfismo invariante che può essere chiamata quantizzazione a loop. Originalmente sviluppata al fine di quantizzare il vuoto della relatività generale in 3+1 dimensioni, il formalismo matematico può aiutare la dimensionalità arbitraria dello spazio-tempo, i fermioni (Baez e Krasnov), un gruppo di gauge arbitrario (o anche un gruppo quantistico) e la supersimmetria (Smolin) e porta alla quantizzazione della cinematica delle corrispondenti teorie di gauge a diffeomorfismo invariante. Rimane ancora molto lavoro da svolgere riguardo alla dinamica, al limite classico ed al principio di corrispondenza, tutti necessari, in un modo o nell'altro, per poter effettuare esperimenti.

La quantizzazione a loop è il risultato dell'applicazione della quantizzazione C*-algebrica di un'algebra non canonica delle osservabili di gauge invarianti classiche. Non canonica significa che le osservabili di base quantizzate non sono coordinate generalizzate né i loro momenti coniugati. Invece vengono usati l'algebra generata dalle osservabili di reti di spin (costruiti da olonomi) e flussi di campi di forza.

Le tecniche di quantizzazione a loop sono particolarmente utili nel trattare le teorie topologiche quantistiche di campo dove esse danno corpo a modelli state-sum/spin-foam come il modello Turaev-Viro della relatività generale a 2+1 dimensioni. Una delle più conosciute teorie è la cosiddetta teoria BF in 3+1 dimensioni perché la relatività generale classica può essere formulata come una teoria BF con costrizione, e si spera che una quantizzazione significativa della gravità possa derivare dalla teoria perturbativa dei modelli BF a schiuma di spin.

Invarianza di Lorentz

La LQG è una quantizzazione della classica teoria lagrangiana di campo che è equivalente alla nota teoria di Einstein-Cartan nel punto in cui permette che le equazioni di moto descrivano la relatività generale con torsione. Si può quindi dire che la LQG rispetta l'invarianza di Lorentz a livello locale. L'invarianza di Lorentz generale è rotta nella LQG così come nella relatività generale. Si può ottenere una costante cosmologica positiva nella LQG sostituendo il gruppo di Lorentz con il corrispettivo gruppo quantistico.

Invarianza del diffeomorfismo e indipendenza dal background

La covarianza generale (conosciuta anche col termine di invarianza del diffeomorfismo) è l'invarianza delle leggi fisiche (ad esempio le equazioni della relatività generale) sotto trasformazioni di coordinate arbitrarie. Questa simmetria è una delle caratteristiche della relatività generale. La LQG conserva questa simmetria richiedendo che gli stati fisici siano invarianti sotto i generatori dei diffeomorfismi. L'interpretazione di queste condizioni è ben conosciuta nei riguardi dei diffeomorfismi spaziali puri; comunque la comprensione dei diffeomorfismi che coinvolgono il tempo (la costrizione hamiltoniana) è più debole perché è in relazione con la dinamica e con il cosiddetto problema del tempo della relatività generale ed inoltre la struttura di calcolo generalmente accettata per descrivere questa costrizione è ancora da trovare.

Se l'invarianza di Lorentz sia rotta o no al limite alle basse energie della LQG, la teoria è formalmente indipendente dal background. Le equazioni della LQG non sono incluse oppure presuppongono spazio e tempo (eccetto per la sua topologia che non può essere modificata), ma si ritiene con una certa ragionevolezza che aumentino lo spazio ed il tempo a distanze maggiori comparate alla lunghezza di Planck. Non è stato ancora dimostrato che la descrizione che la LQG dà dello spazio-tempo al livello di scala di Planck possieda un limite del continuum come descritto dalla relatività generale con eventuali correzioni quantistiche.

Problematiche aperte

Nessuna teoria della gravità quantistica (stringhe, loops o altro) ha ancora prodotto una predizione univoca che possa essere sottoposta a verifica sperimentale, e quindi tutte queste teorie devono essere considerate ipotetiche. Una speranza circa un supporto sperimentale per diverse teorie di gravità quantistica è venuta dalla possibilità di osservazioni astrofisiche di violazione dell'invarianza di Lorentz. Ma è noto da tempo che la gravità quantistica a loop non porta necessariamente alla violazione dell'invarianza di Lorentz (vedi per esempio Rovelli e Speziale 2003), e quindi osservazioni sulla eventuale rottura o meno dell'invarianza di Lorentz, come per esempio quelle del Fermi Gamma-ray Space Telescope, non possono essere considerate argomenti a favore o a sfavore della teoria.

Critiche provenienti dai fautori della Teoria delle stringhe

La LQG è criticata dai fautori della teoria delle stringhe per molti motivi.

La critica più forte si rivolge al fatto che non esiste ancora una teoria efficace della LQG e quindi non è possibile verificare se essa riproduca veramente la relatività generale a basse energie. Dunque, non è nemmeno chiaro se riesca a riprodurre tutti i fenomeni già descritti dalla teoria di Einstein. Recentemente, tuttavia, è stato possibile derivare dalla teoria la fenomenologia delle onde gravitazionali e la cosmologia standard. Le indicazioni secondo cui il limite classico della teoria sarebbe la relatività generale sono dunque forti.

È stato anche osservato che il metodo di quantizzazione è tale che i modi veramente quantizzati portano a una teoria topologica e dunque lontana dalla realtà, ma si tratta di un equivoco. La teoria può essere costruita modificando modelli topologici, ma non è una teoria topologica.

La LQG risolve i problemi di divergenza ultravioletta delle teorie semiclassiche standard. Non ci sono termini divergenti all'ultravioletto negli operatori di volume e nel vincolo Hamiltoniano. Tuttavia, nella teoria esistono divergenze infrarosse, e non è ancora chiaro come trattarle.

Una critica alla teoria, comune tra i fautori della teoria della stringhe, è che la versione della teoria della gravità quantistica a loop basata sugli spin foam può violare l'unitarietà. È vero che la teoria viola l'unitarietà, nel senso che non esiste nella teoria un gruppo a un parametro di trasformazioni unitarie che danno l'evoluzione temporale, né una matrice S unitaria. L'assenza di queste strutture stupisce e lascia sconcertato chi viene dal mondo delle stringhe, perché abituato a pensare alla fisica in termini di spazio tempo piatto. Ma l'assenza di queste strutture è implicata dalla relatività generale, nella quale, in generale, non esiste uno spazio piatto asintotico o una simmetria per traslazione nel tempo. L'unitarietà, nel senso di consistenza dell'interpretazione probabilistica della teoria, è ovviamente rispettata dalla gravità quantistica a loop.

Bibliografia

• Peter Woit, Neanche sbagliata, Torino, Codice, 2007. ISBN 978-88-7578-072-2
• Roger Penrose, La mente nuova dell'imperatore: La mente, i computer e le leggi della fisica, Milano, Rizzoli, 2007. ISBN 88-17-86552-4
• Amedeo Balbi, La musica del Big Bang: Come la radiazione cosmica di fondo ci ha svelato i segreti dell'Universo, Milano, Springer, 2007. ISBN 978-88-470-0612-6
• Martin Rees, Prima dell'inizio: Il nostro Universo e gli altri, Milano, Raffaello Cortina Editore, 1998. ISBN 88-7078-508-4
• Libri divulgativi:
  • Lee Smolin, Three Roads to Quantum Gravity
  • Lee Smolin, L'Universo senza stringhe. Fortuna di una teoria e turbamenti della scienza, Einaudi, 2007
• Articoli di riviste:
  • Lee Smolin, "Atoms in Space and Time," Scientific American, gennaio 2004
• Lavori introduttivi ed espositivi più semplici:
  • Abhay Ashtekar, Gravity and the quantum, e-print scaricabile qui
  • John C. Baez and Javier Perez de Muniain, Gauge Fields, Knots and Quantum Gravity, World Scientific (1994)
  • Carlo Rovelli, A Dialog on Quantum Gravity, e-print scaricabile da hep-th/0310077
• Ulteriori lavori più approfonditi:
  • Abhay Ashtekar, New Perspectives in Canonical Gravity, Bibliopolis (1988).
  • Abhay Ashtekar, Lectures on Non-Perturbative Canonical Gravity, World Scientific (1991)
  • Abhay Ashtekar and Jerzy Lewandowski, Background independent quantum gravity: a status report, e-print scaricabile qui
  • Rodolfo Gambini and Jorge Pullin, Loops, Knots, Gauge Theories and Quantum Gravity, Cambridge University Press (1996)
  • Hermann Nicolai, Kasper Peeters, Marija Zamaklar, Loop quantum gravity: an outside view, e-print scaricabile da hep-th/0501114
  • Carlo Rovelli, Quantum Gravity, Cambridge University Press (2004); bozza online
  • Carlo Rovelli, Loop Quantum Gravity, online article, versione del 15 agosto 2001.
  • Thomas Thiemann, Introduction to modern canonical quantum general relativity, e-print scaricabile qui
  • Thomas Thiemann, Lectures on loop quantum gravity, e-print scaricabile da questo link
• Conferenze:
  • John C. Baez (a cura di), Knots and Quantum Gravity
• Scritti su ricerche fondamentali:
  • Abhay Ashtekar, New variables for classical and quantum gravity, Phys. Rev. Lett., 57, 2244-2247, 1986
  • Abhay Ashtekar, New Hamiltonian formulation of general relativity, Phys. Rev. D36, 1587-1602, 1987
  • Roger Penrose, Angular momentum: an approach to combinatorial space-time in Quantum Theory and Beyond, ed. Ted Bastin, Cambridge University Press, 1971
• Alejandro Perez, Spin Foam Models for Quantum Gravity, 14 febbraio 2003
  • Carlo Rovelli and Lee Smolin, Loop space representation of quantum general relativity, Nuclear Physics B331 (1990) 80-152
  • Carlo Rovelli and Lee Smolin, Discreteness of area and volume in quantum gravity, Nucl. Phys., B442 (1995) 593-622, e-print scaricabile da questo link

Collegamenti esterni

• (EN) Quantum Gravity, Physics, and Philosophy: http://www.qgravity.org/
• (EN) Resources for LQG and spin foams: http://jdc.math.uwo.ca/spin-foams/
• (EN) Gamma ray large area space telescope: http://glast.gsfc.nasa.gov/
• (EN) Derivare le dimensioni