Matrice trasposta

In matematica, l'operatore di trasposizione, che si denota con un apice o con una T ad esponente, associa ad una matrice la sua relativa trasposta, ovvero la matrice il cui generico elemento con indici (i, j) è l'elemento con indici (j, i) della matrice originaria. In simboli:

$\left(A^{T}\right)_{ij}=A_{ji},\quad \forall A\in \mathbf {K} ^{m,n},1\leq i\leq m,1\leq j\leq n$

In pratica, la matrice trasposta si deve intendere come una matrice in cui le colonne diventano righe e le righe diventano colonne.

Esempi

$A={\begin{pmatrix}2&4&8\\3&2&0\\5&3&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\quad A^{T}={\begin{pmatrix}2&3&5&0\\4&2&3&1\\8&0&1&0\end{pmatrix}}$

• ${\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}$

• ${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}$

• ${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;$

• ${\begin{bmatrix}1&2&8\\3&4&3\\5&6&1\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\\8&3&1\end{bmatrix}}\;$

Idea di calcolo: ruotare la matrice $A$ di 90° antiorario, dopodiché effettuare lo specchio di quest'ultima (nel primo esempio: la riga 2 rimane invariata, mentre la riga 1 e 3 vengono scambiate della matrice $A$ ruotata di 90°).

Proprietà

Se intendiamo la trasposta come una matrice di trasformazione, notiamo che: $\mathbf {K} :\mathbf {K} ^{m,n}\to \mathbf {K} ^{n,m}$ cioè otteniamo una matrice con le dimensioni invertite.

Valgono le seguenti proprietà:

1. La trasposta della trasposta è la matrice stessa.

   $\left(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} \quad$

2. La trasposta della somma di due matrici è uguale alla somma delle due matrici trasposte.

   $(\mathbf {A} +\mathbf {B} )^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }+\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }$

3. L'ordine delle matrici si inverte per la moltiplicazione.

   $\left(\mathbf {AB} \right)^{\mathrm {T} }=\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }$

   Questo risultato è facilmente estendibile al caso più generale, dove si considerano più matrici:

   $\left(\mathbf {ABC...XYZ} \right)^{\mathrm {T} }=\mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }\mathbf {Y} ^{\mathrm {T} }\mathbf {X} ^{\mathrm {T} }...\mathbf {C} ^{\mathrm {T} }\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }$

4. Se c è uno scalare, la trasposta di uno scalare è lo scalare invariato.

   $(c\mathbf {A} )^{\mathrm {T} }=c\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }$

5. [solo per matrici quadrate] Il determinante della trasposta è uguale al determinante della matrice iniziale.

   $\det(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })=\det(\mathbf {A} )$

6. Il prodotto scalare tra due vettori colonna a e b può essere calcolato come

   $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} ,$

   che può essere scritto usando la notazione di Einstein come a_i bⁱ.
7. Se A ha solamente elementi reali, allora A^TA è una matrice semidefinita positiva.
8. La trasposta di una matrice invertibile è ancora invertibile e la sua inversa è la trasposta dell'inversa della matrice iniziale.

   $(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{\mathrm {T} }$

9. Se A è una matrice quadrata, allora i suoi autovalori sono uguali agli autovalori della sua trasposta.

Osservazioni

• La trasposizione è definita su m ed n qualunque, ovvero sia su matrici quadrate che rettangolari e quindi anche su vettori. In particolare un vettore colonna trasposto è un vettore riga e viceversa.
  
• Una matrice che coincide con la propria trasposta è detta matrice simmetrica. La simmetricità della matrice è definita soltanto su matrici quadrate.
  
• Uno scalare può essere visto come un caso particolare di matrice simmetrica 1 × 1 ed è pertanto invariante alla trasposizione. Quindi, sebbene in generale date due matrici A e B di dimensioni opportune si abbia che

$(\mathbf {AB} )^{\mathrm {T} }=\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\neq \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\mathbf {B} ^{\mathrm {T} },$

l'operatore di trasposizione è lineare, ovvero, dati due scalari k ed l, vale

$(k\mathbf {A} +l\mathbf {B} )^{\mathrm {T} }=(k\mathbf {A} )^{\mathrm {T} }+(l\mathbf {B} )^{\mathrm {T} }=k\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }+l\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }.$

Più in generale, dati N scalari k_i ed N matrici di pari dimensioni A_i, vale

$\left(\sum _{i=1}^{N}k_{i}\mathbf {A} _{i}\right)^{\mathrm {T} }=\sum _{i=1}^{N}k_{i}\mathbf {A} _{i}^{\mathrm {T} }$

dove Σ indica una sommatoria.

Trasposta di applicazioni lineari

Più in astratto, se $V$ e $W$ sono due spazi vettoriali di dimensione finita sullo stesso campo e $f:V\to W$ è un'applicazione lineare allora possiamo definire l'applicazione duale di $f$ come la mappa $f^{*}:W^{*}\to V^{*}:\varphi \mapsto \varphi \circ f$, tra gli spazi duali $W^{*}$ e $V^{*}$. Ora fissate due basi $e_{1},\ldots ,e_{m}$ e $f_{1},\ldots ,f_{n}$ di $V$ e $W$ rispettivamente, si dimostra che se $A$ è la matrice associata a $f$ rispetto tali basi allora la matrice associata a $f^{*}$ rispetto alle basi duali di $e_{1},\ldots ,e_{m}$ e $f_{1},\ldots ,f_{n}$ è proprio la trasposta di $A$.