Teorema del rotore

In matematica, il teorema del rotore, anche detto teorema di Kelvin o teorema di Kelvin-Stokes, il cui nome è dovuto a Lord Kelvin e George Stokes, afferma che il flusso del rotore di determinati campi vettoriali attraverso superfici regolari dotate di bordo è uguale alla circuitazione del campo lungo la frontiera della superficie. Si tratta pertanto di un caso particolare del teorema di Stokes.

Il teorema

Sia $\gamma :[a,b]\to {\mathbb {R} }^{2}$ una curva piana liscia a tratti tale che sia una curva semplice chiusa (curva di Jordan), ovvero se $t$ e $s$ sono nell'intervallo $(a,b)$ allora $\,\ \gamma (s)=\gamma (t)$ implica $t=s$ e $\gamma (a)=\gamma (b)$. Sia $\mathbb {D}$ il dominio di ${\mathbb {R} }^{2}$, la cui frontiera è $\gamma$, e sia $\psi :\mathbb {D} \to {\mathbb {R} }^{3}$ una funzione liscia. Inoltre, sia $\mathbb {S}$ l'immagine di $\mathbb {D}$ tramite $\psi$ e $\Gamma$ una curva definita dalla relazione $\Gamma (t)=\psi (\gamma (t))$. Allora se ${\textbf {F}}$è un campo vettoriale su $\mathbb {R} ^{3}$ si ha:

$\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,d\Gamma =\iint _{\mathbb {S} }\nabla \times \mathbf {F} \,d\mathbb {S}$

Il termine a sinistra è l'integrale di linea di $\mathbf {F}$ lungo $\Gamma$ ed il termine a destra è l'integrale di superficie del rotore $\nabla \times \mathbf {F}$ di $\mathbf {F}$.

Proprietà

Il teorema del rotore può essere considerato la generalizzazione del teorema fondamentale del calcolo integrale

$\int _{a}^{b}H\ dt=L(b)-L(a)$

Questo enunciato consente di affermare che il flusso attraverso una superficie (regolare a tratti e dotata di bordo) di un campo vettoriale ${\vec {G}}$ esprimibile in termini di un potenziale vettore ${\vec {F}}$ è uguale alla circuitazione di ${\vec {F}}$ lungo il bordo della superficie. Per le funzioni ad una variabile reale si deve trovare una L tale che $L'=H$ per poi valutarla agli estremi. In questo caso la primitiva di ${\vec {G}}$ è proprio ${\vec {F}}$, calcolata sulla frontiera della superficie che ha il ruolo degli estremi dell'intervallo dell'integrale definito.

Da notare anche come il teorema del rotore consenta di ottenere una condizione equivalente alla conservatività di un campo vettoriale. La circuitazione nulla del campo, infatti, corrisponde ad un flusso nullo del rotore e quindi, data l'arbitrarietà della superficie, proprio alla condizione di irrotazionalità del campo stesso (${\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}=0$).

Il teorema del rotore può essere visto come un caso particolare, per le superfici, del teorema di Stokes.

Voci correlate

• Teorema di Green - caso speciale del teorema del rotore nel caso di superficie appartenente a $\mathbb {R} ^{2}$
• Teorema di Torricelli-Barrow
• Teorema di Ostrogradskij
• Teorema di Stokes