Supporto (matematica): differenze tra le versioni
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Nel caso di una [[curva (matematica)|curva]], il supporto è definito come l'[[immagine (matematica)|immagine]] della parametrizzazione della [[curva (matematica)|curva]]. |
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Nel caso di una [[misura (matematica)|misura]] <math>\mu |
Nel caso di una [[misura (matematica)|misura]] <math>\mu </math> su uno [[spazio misurabile]] <math>(X,\mathcal{A})</math>, il supporto è definito come la chiusura del [[sottoinsieme]] di <math>X</math> i cui punti hanno la proprietà che ogni loro [[intorno]] ha misura [[numero positivo|positiva]]. |
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== Funzioni == |
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Sia <math>X</math> uno [[spazio topologico]], e <math>Y</math> uno [[spazio vettoriale]]. Sia: |
Sia <math>X</math> uno [[spazio topologico]], e <math>Y</math> uno [[spazio vettoriale]]. Sia: |
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:<math>f: \Omega\subseteq X \to Y |
:<math>f: \Omega\subseteq X \to Y </math> |
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Si definisce supporto di <math>f</math> l'insieme:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 36|rudin}}</ref> |
Si definisce supporto di <math>f</math> l'insieme:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 36|rudin}}</ref> |
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:<math>\mathrm{supp}\, f := \overline{\{ \mathbf{x} \in \Omega\, t.c. \, f(\mathbf{x})\ne \mathbf{0} \} } |
:<math>\mathrm{supp}\, f := \overline{\{ \mathbf{x} \in \Omega\, t.c. \, f(\mathbf{x})\ne \mathbf{0} \} } </math> |
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Di particolare importanza in analisi sono le [[Funzione a supporto compatto|funzioni a supporto compatto]]. |
Di particolare importanza in analisi sono le [[Funzione a supporto compatto|funzioni a supporto compatto]]. |
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== Teoria della misura == |
== Teoria della misura == |
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Il supporto di una [[misura (matematica)|misura]] <math>\mu |
Il supporto di una [[misura (matematica)|misura]] <math>\mu </math> su uno [[spazio misurabile]] <math>(X,\mathcal{A})</math> è la [[chiusura (topologia)|chiusura]] del [[sottoinsieme]] di <math>X</math> i cui punti hanno la proprietà che ogni loro [[intorno]] ha misura [[numero positivo|positiva]]. |
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Sia <math>(X,\mathcal{A},\mu) |
Sia <math>(X,\mathcal{A},\mu)</math> uno spazio misurabile (con misura non negativa), allora: |
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:<math>\mathrm{supp} \, \mu := \overline{\{x\in X \, : \forall N \ni x, \, \mu (N)>0\}} |
:<math>\mathrm{supp} \, \mu := \overline{\{x\in X \, : \forall N \ni x, \, \mu (N)>0\}}</math> |
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== Curve == |
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Il supporto di una [[curva (matematica)|curva]] è [[definizione|definito]] come l'[[immagine (matematica)|immagine]] della parametrizzazione della [[curva (matematica)|curva]]. Sia <math>\mathbf{r} |
Il supporto di una [[curva (matematica)|curva]] è [[definizione|definito]] come l'[[immagine (matematica)|immagine]] della parametrizzazione della [[curva (matematica)|curva]]. Sia <math>\mathbf{r} </math> la parametrizzazione di una [[curva (matematica)|curva]]: |
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:<math>\mathbf{r}: I \subseteq \R \to \R^n |
:<math>\mathbf{r}: I \subseteq \R \to \R^n </math> |
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allora il suo '''supporto''' <math>\Gamma |
allora il suo '''supporto''' <math>\Gamma </math> è l'[[insieme]]: |
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:<math>\Gamma = \{\mathbf{x} \in \R^n \, t.c. \, \exists t \in I,\, \mathbf{x}=\mathbf{r}(t) \} |
:<math>\Gamma = \{\mathbf{x} \in \R^n \, t.c. \, \exists t \in I,\, \mathbf{x}=\mathbf{r}(t) \} </math> |
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oppure, un po' meno formalmente, ma più immediato: |
oppure, un po' meno formalmente, ma più immediato: |
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:<math>\Gamma = \mathbf{r}(I) |
:<math>\Gamma = \mathbf{r}(I) </math> |
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Ricordiamo che per descrivere la [[curva (matematica)|curva]] non basta solo la sua parametrizzazione (o solo il suo '''supporto'''), ma necessariamente entrambi: a titolo di esempio, la curva <math>\gamma_1(t)=(\cos t,\sin t), t\in[0,2\pi]</math> e la curva <math>\gamma_2(t)=(\cos t,\sin t), t\in [0,3\pi]</math> hanno lo stesso supporto, ma la prima è chiusa e la seconda no. |
Ricordiamo che per descrivere la [[curva (matematica)|curva]] non basta solo la sua parametrizzazione (o solo il suo '''supporto'''), ma necessariamente entrambi: a titolo di esempio, la curva <math>\gamma_1(t)=(\cos t,\sin t), t\in[0,2\pi]</math> e la curva <math>\gamma_2(t)=(\cos t,\sin t), t\in [0,3\pi]</math> hanno lo stesso supporto, ma la prima è chiusa e la seconda no. |
Versione delle 03:55, 24 lug 2012
In matematica, il supporto o sostegno di una funzione è la chiusura dell'insieme dei punti del dominio dove la funzione non si annulla.
Nel caso di una curva, il supporto è definito come l'immagine della parametrizzazione della curva.
Nel caso di una misura su uno spazio misurabile , il supporto è definito come la chiusura del sottoinsieme di i cui punti hanno la proprietà che ogni loro intorno ha misura positiva.
Funzioni
Sia uno spazio topologico, e uno spazio vettoriale. Sia:
Si definisce supporto di l'insieme:[1]
Di particolare importanza in analisi sono le funzioni a supporto compatto.
Teoria della misura
Il supporto di una misura su uno spazio misurabile è la chiusura del sottoinsieme di i cui punti hanno la proprietà che ogni loro intorno ha misura positiva.
Sia uno spazio misurabile (con misura non negativa), allora:
Curve
Il supporto di una curva è definito come l'immagine della parametrizzazione della curva. Sia la parametrizzazione di una curva:
allora il suo supporto è l'insieme:
oppure, un po' meno formalmente, ma più immediato:
Ricordiamo che per descrivere la curva non basta solo la sua parametrizzazione (o solo il suo supporto), ma necessariamente entrambi: a titolo di esempio, la curva e la curva hanno lo stesso supporto, ma la prima è chiusa e la seconda no.
Note
Bibliografia
- Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0070542341.