Matrice trasposta: differenze tra le versioni
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* Una matrice che coincide con la propria trasposta è detta [[matrice simmetrica]]. La simmetricità della matrice è definita soltanto su matrici quadrate.<br /> |
* Una matrice che coincide con la propria trasposta è detta [[matrice simmetrica]]. La simmetricità della matrice è definita soltanto su matrici quadrate.<br /> |
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* Uno [[scalare]] può essere visto come un caso particolare di matrice simmetrica ''1 × 1'' ed è pertanto invariante alla trasposizione. Quindi, sebbene in generale date due matrici '''A''' e '''B''' di [[prodotto tra matrici|dimensioni opportune]] si abbia che |
* Uno [[scalare]] può essere visto come un caso particolare di matrice simmetrica ''1 × 1'' ed è pertanto invariante alla trasposizione. Quindi, sebbene in generale date due matrici '''A''' e '''B''' di [[prodotto tra matrici|dimensioni opportune]] si abbia che |
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:<math>(\mathbf{AB})^T = \mathbf{B}^T\mathbf{A}^T \ne \mathbf{A}^T\mathbf{B}^T,</math> |
:<math>(\mathbf{AB})^\mathrm{T} = \mathbf{B}^\mathrm{T}\mathbf{A}^\mathrm{T} \ne \mathbf{A}^\mathrm{T}\mathbf{B}^\mathrm{T},</math> |
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:l'operatore di trasposizione è [[trasformazione lineare|lineare]], ovvero, dati due scalari ''k'' ed ''l'', vale |
:l'operatore di trasposizione è [[trasformazione lineare|lineare]], ovvero, dati due scalari ''k'' ed ''l'', vale |
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:<math>(k\mathbf{A}+l\mathbf{B})^T = (k\mathbf{A})^T+(l\mathbf{B})^T = k\mathbf{A}^T+l\mathbf{B}^T.</math> |
:<math>(k\mathbf{A}+l\mathbf{B})^\mathrm{T} = (k\mathbf{A})^\mathrm{T}+(l\mathbf{B})^\mathrm{T} = k\mathbf{A}^\mathrm{T}+l\mathbf{B}^\mathrm{T}.</math> |
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:Più in generale, dati N scalari ''k<sub>i</sub>'' ed N matrici di pari dimensioni ''A<sub>i</sub>'', vale |
:Più in generale, dati N scalari ''k<sub>i</sub>'' ed N matrici di pari dimensioni ''A<sub>i</sub>'', vale |
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:<math> \left( \sum_{i=1}^{N} k_i \mathbf{A}_i \right) ^T = \sum_{i=1}^{N} k_i \mathbf{A}_i^T </math> |
:<math> \left( \sum_{i=1}^{N} k_i \mathbf{A}_i \right) ^\mathrm{T} = \sum_{i=1}^{N} k_i \mathbf{A}_i^\mathrm{T} </math> |
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:dove ''Σ'' indica una [[sommatoria]]. |
:dove ''Σ'' indica una [[sommatoria]]. |
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Versione delle 20:47, 13 lug 2011
In matematica, l'operatore di trasposizione, che si denota con un apice o con una T ad esponente, associa ad una matrice la sua relativa trasposta, ovvero la matrice il cui generico elemento con indici (i,j) è l'elemento con indici (j,i) della matrice originaria. In simboli:
In pratica, la matrice trasposta si deve intendere come una matrice in cui le colonne diventano righe e le righe diventano colonne.
Esempio
Proprietà
Se intendiamo la trasposta come una matrice di trasformazione, notiamo che: cioè otteniamo una matrice con le dimensioni invertite.
Valgono le seguenti proprietà:
- La trasposta della trasposta è la matrice stessa.
- La trasposta della somma di due matrici è uguale alla somma delle due matrici trasposte.
- L'ordine delle matrici si inverte per la moltiplicazione.
- Se c è uno scalare, la trasposta di uno scalare è lo scalare invariato.
- [solo per matrici quadrate] Il determinante della trasposta è uguale al determinante della matrice iniziale.
- Il prodotto scalare tra due vettori colonna a e b può essere calcolato come
- Se A ha solamente elementi reali, allora ATA è una matrice semidefinita positiva.
- La trasposta di una matrice invertibile è ancora invertibile e la sua inversa è la trasposta dell'inversa della matrice iniziale.
- Se A è una matrice quadrata, allora i suoi autovalori sono uguali agli autovalori della sua trasposta.
Osservazioni
- La trasposizione è definita su m ed n qualunque, ovvero sia su matrici quadrate che rettangolari e quindi anche su vettori. In particolare un vettore colonna trasposto è un vettore riga e viceversa.
- Una matrice che coincide con la propria trasposta è detta matrice simmetrica. La simmetricità della matrice è definita soltanto su matrici quadrate.
- Uno scalare può essere visto come un caso particolare di matrice simmetrica 1 × 1 ed è pertanto invariante alla trasposizione. Quindi, sebbene in generale date due matrici A e B di dimensioni opportune si abbia che
- l'operatore di trasposizione è lineare, ovvero, dati due scalari k ed l, vale
- Più in generale, dati N scalari ki ed N matrici di pari dimensioni Ai, vale
- dove Σ indica una sommatoria.