Anarmonicità: differenze tra le versioni
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L''''anarmonicità''' rappresenta la deviazione di un sistema oscillante rispetto al modello dell'[[oscillatore armonico]], ed è calcolabile facendo ricorso alla [[teoria perturbativa]] nel caso di basse anarmonicità o ad altre [[analisi numerica|tecniche numeriche]] se essa è consistente. Nell'oscillatore anarmonico è possibile osservare multipli della frequenza fondamentale dell'oscillatore <math>\omega_A</math> che differisce dalla '''<math>\omega_N</math>''' del moto armonico in prima approssimazione proporzionalmente al quadrato della ampiezza di oscillazione '''A''': |
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L'oscillatore armonico è un sistema ideale caratterizzato da una singola [[frequenza]] di oscillazione che dipende solamente dalla costante elastica e dalla [[massa (fisica)|massa]]. La relazione tra la [[forza]] e lo [[Spostamento (fisica)|spostamento]] è di tipo lineare ed è stabilita dalla [[legge di Hooke]]. Nel caso invece in cui sia presente l'anarmonicità la relazione tra forza e spostamento non è più di tipo lineare, ma dipende dalla ampiezza dello spostamento indotto. Di conseguenza è possibile osservare multipli della frequenza fondamentale dell'oscillatore (''armoniche superiori''), frequenza <math>\omega</math> che differisce dalla <math>\omega_0</math> del moto armonico proporzionalmente al quadrato della ampiezza di oscillazione: |
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Perciò risulta il manifestarsi di oscillazioni con le frequenze delle '''[[armoniche superiori]]''' <math>2\omega_A</math> e <math>3\omega_A</math> ecc., dove <math>\omega_A</math> è la '''[[frequenza fondamentale]]''' dell'oscillatore. Inoltre, la frequenza <math>\omega_A</math> devia dalla frequenza naturale <math>\omega_N</math>. |
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In un sistema di oscillatori con [[modi normali]] <math>\omega_\alpha</math>, <math>\omega_\beta</math>, ... l'anarmonicità si risolve in oscillazioni addizionali con frequenze <math>\omega_\alpha\pm \omega_\beta</math>. |
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L'anarmonicità modifica anche il profilo della curva di risonanza, portando ad interessanti fenomeni come la [[risonanza nonlineare]] e la risonanza superarmonica. |
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Una versione generalizzata dell'oscillatore armonico è quella di una sistema altamente idealizzato che oscilla con una singola frequenza, irrispettosa della quantità di energia cedutagli dall'esterno. Conseguentemente, la frequenza fondamentale dell'oscillatore armonico è indipendente dall'ampiezza delle vibrazioni. In un oscillatore anarmonico accade il contrario: la relazione dinamica tra forza e spostamento non è più lineare ma dipende dall'[[ampiezza]] dell'oscillazione, e quindi anche la frequenza può dipendervi. Questi cambiamenti risultano in un''''accoppiamento parametrico''' dell'energia ad altre frequenze. |
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Ci sono molti sistemi nel mondo fisico: a livello '''meccanico''' la nonlinearità sorge già nel caso più semplice nel [[pendolo matematico]] per angoli crescenti, che tende peraltro a esibire comportamenti caotici; come anche in una [[molla]] in snervamento o il cui peso non è rigido. In effetti la nonlinearità sopraggiunge quando l'ampiezza oltrepassa valori-soglia. |
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Esempi fuori dalla meccanica sono semiconduttori non in equilibrio che posseggono una popolazione calda abbastanza grande e che tendono ad esibire oscillazioni anarmoniche legate alla massa effettive delle cariche, così come [[plasmi]] [[ionosfera|ionosferici]]. Un [[atomo]] la sperimenta uno sdoppiamento tra centro di massa del [[nucleo atomico]] e la [[nube elettronica]] sotto l'applicazione di un [[campo elettrico]]: si genera un [[dipolo elettrico]]che si comporta come oscillatore, e per intensità di campo crescenti perde la sua linearità come un sistema meccanico. L'anarmonicità gioca anche un ruolo importante nei [[reticoli cristallini]], nelle vibrazioni quantistiche [[molecola]]ri [http://jchemed.chem.wisc.edu/Journal/issues/2005/Aug/abs1263_2.html], e in [[acustica]]. |
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== Metodo di Weierstrass == |
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:<math>x(U)=\frac{1}{2\pi \sqrt{2m}}\int_0^U\frac{T(E)\,dE}{\sqrt{U-E}}</math> |
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==Bibliografia== |
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Versione delle 14:15, 20 feb 2011
L'anarmonicità rappresenta la deviazione di un sistema oscillante rispetto al modello dell'oscillatore armonico, ed è calcolabile facendo ricorso alla teoria perturbativa nel caso di basse anarmonicità o ad altre tecniche numeriche se essa è consistente. Nell'oscillatore anarmonico è possibile osservare multipli della frequenza fondamentale dell'oscillatore che differisce dalla del moto armonico in prima approssimazione proporzionalmente al quadrato della ampiezza di oscillazione A:
- .
Perciò risulta il manifestarsi di oscillazioni con le frequenze delle armoniche superiori e ecc., dove è la frequenza fondamentale dell'oscillatore. Inoltre, la frequenza devia dalla frequenza naturale .
In un sistema di oscillatori con modi normali , , ... l'anarmonicità si risolve in oscillazioni addizionali con frequenze .
L'anarmonicità modifica anche il profilo della curva di risonanza, portando ad interessanti fenomeni come la risonanza nonlineare e la risonanza superarmonica.
Principio generale
Una versione generalizzata dell'oscillatore armonico è quella di una sistema altamente idealizzato che oscilla con una singola frequenza, irrispettosa della quantità di energia cedutagli dall'esterno. Conseguentemente, la frequenza fondamentale dell'oscillatore armonico è indipendente dall'ampiezza delle vibrazioni. In un oscillatore anarmonico accade il contrario: la relazione dinamica tra forza e spostamento non è più lineare ma dipende dall'ampiezza dell'oscillazione, e quindi anche la frequenza può dipendervi. Questi cambiamenti risultano in un'accoppiamento parametrico dell'energia ad altre frequenze.
Esempi fisici
Ci sono molti sistemi nel mondo fisico: a livello meccanico la nonlinearità sorge già nel caso più semplice nel pendolo matematico per angoli crescenti, che tende peraltro a esibire comportamenti caotici; come anche in una molla in snervamento o il cui peso non è rigido. In effetti la nonlinearità sopraggiunge quando l'ampiezza oltrepassa valori-soglia.
Esempi fuori dalla meccanica sono semiconduttori non in equilibrio che posseggono una popolazione calda abbastanza grande e che tendono ad esibire oscillazioni anarmoniche legate alla massa effettive delle cariche, così come plasmi ionosferici. Un atomo la sperimenta uno sdoppiamento tra centro di massa del nucleo atomico e la nube elettronica sotto l'applicazione di un campo elettrico: si genera un dipolo elettricoche si comporta come oscillatore, e per intensità di campo crescenti perde la sua linearità come un sistema meccanico. L'anarmonicità gioca anche un ruolo importante nei reticoli cristallini, nelle vibrazioni quantistiche molecolari [1], e in acustica.
Metodo di Weierstrass
Si consideri un potenziale unidimensionale supposto simmetrico rispetto all'asse , la forma della curva può essere implicitamente determinata a partire dal periodo delle oscillazioni con energia totale secondo l'equazione:
Bibliografia
- Lev Davidovič Landau, Evgenij Mikhailovič Lifšic, Corso di fisica teorica. Meccanica, Editori Riuniti
Collegamenti esterni
- (EN) Nonlinear Oscillations, Franz-Josef Elmer, Università di Basilea