Funzione propria: differenze tra le versioni
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fra spazi topologici è '''propria''' se la [[controimmagine]] <math>f^{-1}(K)</math> di ogni [[insieme compatto|sottoinsieme compatto]] <math>K</math> di <math>Y</math> è un insieme compatto in <math>X</math>. |
fra spazi topologici è '''propria''' se la [[controimmagine]] <math>f^{-1}(K)</math> di ogni [[insieme compatto|sottoinsieme compatto]] <math>K</math> di <math>Y</math> è un insieme compatto in <math>X</math>. |
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== Esempi == |
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Una [[funzione strettamente convessa]] che ammette un minimo è propria. Ad esempio la parabola |
Una [[funzione strettamente convessa]] che ammette un minimo è propria. Ad esempio la parabola <math>f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} , \ f(x) = x^2</math> è propria. La controimmagine di un compatto connesso <math>[-a^2, b^2] </math> è infatti il compatto <math>[0, b]</math>. |
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:<math>f(x) = x^2.</math> |
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La controimmagine di un compatto connesso <math>[-a^2, b^2] </math> è infatti il compatto <math>[0, b]</math>. |
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Una [[funzione limitata]] <math>f\colon \R \to \R </math> non è mai propria. |
Una [[funzione limitata]] <math>f\colon \R \to \R </math> non è mai propria. |
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Il fatto di essere propria o meno dipende |
Il fatto di essere propria o meno dipende, oltre che dall'espressione della funzione, dal dominio e/o dal codominio. Ad esempio la funzione <math>f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} , \ f(x) = e^{x}</math>, non è propria, infatti la controimmagine dell'intervallo <math>[0, 1]</math>, che è un compatto, è <math>(- \infty , 0]</math> che non è un compatto. D'altro canto, si noti invece che la funzione <math>f\colon [0, + \infty) \rightarrow \mathbb{R} , \ f(x) = e^{x}</math> è propria. |
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si consideri la funzione <math>f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} , \ f(x) = e^{x}</math>, allora non è propria, infatti la controimmagine dell'intervallo <math>[0, 1]</math>, che è un compatto, è <math>(- \infty , 0]</math> che ovviamente non è un compatto. |
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D'altro canto, si noti invece che la funzione <math>f: [0, + \infty) \rightarrow \mathbb{R} , \ f(x) = e^{x}</math> è propria. |
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== Proprietà == |
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* Ogni mappa continua da uno spazio compatto |
* Ogni mappa continua da uno spazio compatto a uno [[spazio di Hausdorff]] è [[funzione chiusa|chiusa]] e propria. |
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*Ogni mappa propria ammette [[grado topologico]]. |
* Ogni mappa propria ammette [[grado topologico]]. |
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== Bibliografia == |
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Versione delle 12:22, 18 ago 2021
In topologia una funzione continua fra spazi topologici è propria se la controimmagine di ogni insieme compatto è compatta.
Definizione
fra spazi topologici è propria se la controimmagine di ogni sottoinsieme compatto di è un insieme compatto in .
Successioni divergenti
Una definizione equivalente è la seguente. Una successione divergente in uno spazio topologico è una successione di punti che fuoriesce da qualsiasi insieme compatto. Una funzione è propria se e solo se manda successioni divergenti in successioni divergenti.
Esempi
Una funzione strettamente convessa che ammette un minimo è propria. Ad esempio la parabola è propria. La controimmagine di un compatto connesso è infatti il compatto .
![{\displaystyle [-a^{2},b^{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d48c0421bf0394ce74bf3a818ad9eece6a02230)
![{\displaystyle [0,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba22e25e8f8604f012c599a7d4962562c4bb3f02)
Una funzione limitata non è mai propria.
Il fatto di essere propria o meno dipende, oltre che dall'espressione della funzione, dal dominio e/o dal codominio. Ad esempio la funzione , non è propria, infatti la controimmagine dell'intervallo , che è un compatto, è che non è un compatto. D'altro canto, si noti invece che la funzione è propria.
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
![{\displaystyle (-\infty ,0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0241c015ef4c611c9c9aeafb395e7c4a16178405)
Proprietà
- Ogni mappa continua da uno spazio compatto a uno spazio di Hausdorff è chiusa e propria.
- Ogni mappa propria ammette grado topologico.
Bibliografia
- (EN) Nicolas Bourbaki, General topology. Chapters 5--10, Elements of Mathematics, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1998, ISBN 978-3-540-64563-4, MR 1726872.
- (EN) Peter Johnstone, Sketches of an elephant: a topos theory compendium, Oxford, Oxford University Press, 2002, ISBN 0-19-851598-7., section C3.2 "Proper maps"
- (EN) Ronald Brown, Topology and groupoids, N. Carolina, Booksurge, 2006, ISBN 1-4196-2722-8., p. 90 "Proper maps".
- (EN) Brown, R. "Sequentially proper maps and a sequential compactification", J. London Math Soc. (2) 7 (1973) 515-522.
