Logaritmo naturale

Grafico di y=ln(x)

Il logaritmo naturale, descritto per la prima volta da Nepero, è il logaritmo in base e, dove $e$ è uguale a $2,71828\ldots$ Il logaritmo naturale è definito per tutte le $x$ reali e positive, ma anche per i numeri complessi diversi da zero.

Definizione

Se la funzione esponenziale è stata definita usando una serie infinita, il logaritmo naturale può essere definito come la sua funzione inversa, intendendo che $\ln(x)$ è il numero per cui $e^{\ln(x)}=x$. Dal momento che il dominio della funzione esponenziale include tutti i numeri reali positivi e poiché la funzione esponenziale è strettamente crescente, questa è definita per tutte le $x$ reali positive.

In alternativa è possibile definire il logaritmo come segue:

Il logaritmo naturale di $a$ è l'area sottesa dal grafico di $1/x$ da $1$ ad $a$. In altre parole, è il risultato dell'integrale

$\ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx\quad \quad {\text{ per ogni }}a>0$.

Questo definisce il logaritmo perché soddisfa la proprietà fondamentale dei logaritmi:

$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$

Questo può essere dimostrato definendo $t=x/a$ e mediante la regola della sostituzione degli integrali, come segue:

$\ln(ab)=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\;dt=\ln(a)+\ln(b)$

Il numero $e$ può essere definito come l'unico numero reale $a$ tale che $\ln(a)=1$.

Convenzioni

• I matematici sono soliti utilizzare la scrittura "log(x)" per intendere log_e(x); altrimenti si è soliti specificare la base nella scrittura (es. log₁₀(x) è il logaritmo in base $10$ di $x$).
• Ingegneri, biologi e altre professioni schifose scrivono "ln(x)" o (raramente) "log_e(x)" per intendere il logaritmo naturale di $x$, mentre per "log(x)" sottintendono log₁₀(x).
• Nei più comuni linguaggi di programmazione, tra cui C, C++, Fortran, e BASIC, "log" o "LOG" sottintendono il logaritmo naturale.
• Nelle calcolatrici il logaritmo naturale è "ln", mentre "log" è il logaritmo in base $10$.
• Nel campo dell'analisi asintotica della complessità degli algoritmi, per log N si sottintende il logaritmo in base 2 di N.

La funzione inversa dell'esponenziale in base e

La funzione logaritmo è la funzione inversa della funzione esponenziale, quindi si ha che:

$e^{\ln(x)}=x\quad$ per tutte le $x$ positive e

$\ln(e^{x})=x\quad$ per tutte le $x$ reali.

In altre parole, la funzione logaritmo è la corrispondenza biunivoca dall'insieme di numeri reali positivi all'insieme di tutti i numeri reali. Nello specifico, è un isomorfismo da un gruppo di numeri reali positivi sotto moltiplicazione al gruppo dei numeri reali sotto addizione.

I logaritmi possono essere definiti per una qualsiasi base reale positiva diversa da $1$, non solo $e$, inoltre possono essere utili nella risoluzione di equazioni in cui l'incognita appare all'esponente di una qualsiasi quantità.

Derivata

La derivata della funzione logaritmo naturale è data da:

${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}$

Serie comuni

La serie di Taylor centrata in $1$ del logaritmo naturale è:

$\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}x^{n}{\text{ per }}-1<x\leq 1$

Utilizzando l'identità

$\ln x=\operatorname {artanh} \,\left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right){\text{ per }}x>0$

e sostituendo ${\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}$ nella serie di Taylor dell'arcotangente iperbolica si ottiene

$\ln x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}\left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)^{2n+1}{\text{ per }}x>0$

Applicando la trasformazione binomiale alla serie di Taylor si ottiene la seguente serie, valida per ogni $x$ con valore assoluto maggiore di $1$:

$\ln {x \over {x-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {nx^{n}}}={1 \over x}+{1 \over {2x^{2}}}+{1 \over {3x^{3}}}+\cdots$

Si noti inoltre che $x \over {x-1}$ è la sua stessa funzione inversa, quindi per ottenere il logaritmo naturale di un certo numero $y$ è sufficiente sostituire $y \over {y-1}$ al posto di $x$.

Una serie esotica dovuta a Bill Gosper è la seguente:

${\frac {1}{\ln x}}={\frac {1}{x-1}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{-n}}{1+x^{2^{-n}}}}{\text{ per }}x>0$

Integrali e regole di integrazione

L'integrale della funzione logaritmo naturale si risolve per parti:

$\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.$

Il logaritmo naturale è fondamentale per rapide integrazioni di funzioni della forma $g(x)=f'(x)/f(x)$ che si traducono nella scrittura $\ln(|f(x)|)$: l'integrale di una derivata fratto la sua funzione è uguale al logaritmo naturale del valore assoluto di quella funzione. Si tratta della diretta conseguenza della regola di derivazione per le funzioni composte, ossia:

$\ {d \over dx}\left(\ln \left|x\right|\right)={1 \over x}.$

Cioè

$\int {dx \over x}=\ln |x|+C,$

e

$\int {{f^{'}(x) \over f(x)}\,dx}=\ln |f(x)|+C.$

Esempi

Se $g(x)$ è la tangente di $x$, allora:

$\int \tan(x)\,dx=\int {\sin(x) \over \cos(x)}\,dx$

$\int \tan(x)\,dx=\int {-{d \over dx}\cos(x) \over {\cos(x)}}\,dx.$

Da cui ponendo $f(x)=\cos(x)$ si ha che $f'(x)=-\sin(x)$ e quindi:

$\int \tan(x)\,dx=-\ln {\left|\cos(x)\right|}+C$

$\int \cot(x)\,dx=\ln {\left|\sin(x)\right|}+C$

dove $C$ è la costante reale arbitraria degli integrali indefiniti.

Calcolo del logaritmo naturale e cambio di base

Prima della diffusione delle calcolatrici, la formula del cambio di base logaritmica era necessaria per il calcolo dei logaritmi neperiani, riportandoli su base $10$. È ancora utile per ottenere l'ordine di grandezza di un numero neperiano (che è appunto una potenza di $10$):

$\log _{a}x={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}a}}$

che diventa:

$\ln x={\frac {\operatorname {Log} x}{\operatorname {Log} e}}$

Alla fine delle tavole dei logaritmi, la tabella di trasformazione riportava i valori di:

$\operatorname {Log} e=0,43429\ldots$

e

${\frac {1}{\operatorname {Log} e}}=2{,}30258\ldots$.

Voci correlate

• Tavola degli integrali indefiniti di funzioni logaritmiche
• Serie di Mercator