Approssimazione di Chapman-Enskog

L'approssimazione di Chapman-Enskog è il sistema più utilizzato per approssimare le equazioni di bilancio, e porta nelle forme più semplici progressivamente dalle equazioni di Eulero, alle equazioni di Navier-Stokes, alle equazioni di Burnett.

Storia

Chapman ed Enskog nel 1917 furono i primi a sviluppare una procedura sistematica per derivare dalle equazioni di bilancio le forme tradizionali proposte dal XVII secolo ad allora per i fluidi e per i continui in genere che fino ad allora avevano fondamento prevalentemente empirico. Nonostante da allora siano stati proposti vari altri schemi per generare approssimazioni direttamente dalle equazioni del trasporto (come il metodo di Grad, l'espansione in polinomi di Legendre, le funzioni di distribuzione bimodali) il metodo di Chapman ed Enskog rimane lo schema più utilizzato.

Formulazione

L'approssimazione consiste nel sostituire nelle equazioni di bilancio la densità di fase con una serie di Maclaurin troncata al livello di approssimazione desiderato nella velocità:

$n=\sum _{i=0}^{N}a^{i}n^{(i)}$

Imponendo come vincolo che il primo termine (la distribuzione di Maxwell-Boltzmann) porti gli invarianti collisionali:

$f({\bar {v}})={\begin{cases}1\\{\bar {v}}\\{\frac {1}{2}}|{\bar {v}}-\langle {\bar {v}}\rangle |^{2}\end{cases}}$

nelle densità di corrente corrispondenti:

$j={\begin{cases}\rho \\\rho \langle {\bar {v}}\rangle \\\rho \varsigma _{V}T\end{cases}}$

e cioè che:

$\int n^{(0)}f({\bar {v}})\operatorname {d} p=j$

mentre i termini successivi devono avere momenti nulli:

$\int n^{(i)}f({\bar {v}})\operatorname {d} p=0\quad \forall i\neq 0$

Quindi la tensione e la densità termica diventano uno sviluppo in serie dello stesso tipo:

$\left\{{\begin{array}{l}\displaystyle {\bar {\bar {\sigma }}}=\sum _{i=0}^{N}a^{i}{\bar {\bar {\sigma }}}^{(i)}\\\\\displaystyle {\bar {q}}=\sum _{i=0}^{N}a^{i}{\bar {q}}^{(i)}\end{array}}\right.$

dove:

$\left\{{\begin{array}{l}\displaystyle {\bar {\bar {\sigma }}}^{(i)}=\int n^{(i)}({\bar {v}}-\langle {\bar {v}}\rangle )\otimes ({\bar {v}}-\langle {\bar {v}}\rangle )\operatorname {d} p\\\\\displaystyle {\bar {q}}^{(i)}={\frac {1}{2}}\int n^{(i)}({\bar {v}}-\langle {\bar {v}}\rangle )^{3}\operatorname {d} p\end{array}}\right.$

Perciò è sufficiente sviluppare uno schema coerente per calcolare i termini dell'espansione della densità di fase.

Bibliografia

• (EN) Sydney Chapman, T. G. Cowling, The mathematical theory of nonuniform gases, 3ª ed., Cambridge, Cambridge Univesity Press, 1991, ISBN 978-0521408448. Cap.7:
• (EN) James J. Duderstadt, William R. Martin, Transport theory, New York, Wiley-Interscience Publications, 1979, ISBN 978-0471044925. Cap. 4: The derivation of continuum description from trasport equations
• (EN) Dieter A. Wolf-Gladrow, Lattice-Gas Cellular Automata and Lattice Boltzmann Models: An Introduction, New York, Springer, 2000, ISBN 978-3540669739. Cap. 4: Some statistical mechanics
• (EN) Raymond Brun, Introduction to reactive gas dynamics, Oxford, Oxford University Press, 2000, ISBN 978-0199552689. Cap. 3: Quasi-equilibrium regimes: pure gases
• (EN) A.V. Bobylev, Instabilities in the Chapman-Enskog Expansion and Hyperbolic Burnett Equations, in Journal of Statistical Physics, vol. 124, n. 2-4, 1992, pp. 371-399, DOI:10.1007/s10955-005-8087-6.
• (EN) A. Puglisi, A numerical approach to the kinetics of driven and cooling granular gases (PDF), 2001, pp. 46-49.. Cap 2.3.6: The Chapman-Enskog closure

Voci correlate

• Equazioni di bilancio
• Legge costitutiva
• Equazioni di Eulero
• Equazioni di Navier-Stokes
• Equazioni di Burnett

Collegamenti esterni

• (EN) Daniele Puglisi, A numerical approach to the kinetics of driven and cooling granular gases, cap. 2.3.6: The Chapman-Enskog closure