Riordinamento radiale

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Funzione non simmetrica e sua riarrangiata con la stessa norma

In analisi funzionale, una branca della matematica,il riordinamento monotono viene utilizzato quando, data una funzione generica dello spazio , può essere comodo riuscire ad associarne una nuova avente stessa norma, ma più regolare, in particolare a simmetria radiale.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Insiemi[modifica | modifica wikitesto]

Dato un insieme misurabile , il suo riordinamento radiale in è dato da:

dove è il volume della sfera unitaria e il volume di . Si tratta quindi di una sfera centrata nell'origine che ha lo stesso volume di .

Funzioni[modifica | modifica wikitesto]

Il riordinamento radiale di una funzione misurabile non negativa i cui insiemi di livello hanno misura finita è:

Ovvero, il valore di fornisce il valore tale per cui il raggio del riordinamento radiale di è . Questa definizione è motivata dal fatto che l'identità:

è valida per ogni funzione non-negativa ; quindi la definizione data è l'unica che implica .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • Simmetria radiale: è evidente dalla definizione, infatti se allora .
  • Monotonia: è evidente dalla definizione, infatti se allora:

Teoremi[modifica | modifica wikitesto]

Stima di decrescita[modifica | modifica wikitesto]

Se è lipschitziana con costante di Lipschitz L e , allora vale la stima di decrescita per la misura dei sopralivelli:

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Il numero rappresenta la misura dell'insieme , cioè:

La è lipschitziana, si può quindi usare la formula di coarea (seconda versione) con le funzioni e , e si ottiene:

Ricordando che e che il bordo di è contenuto nell'insieme , per cui se si usa la disuguaglianza isoperimetrica si ha che:

:

La funzione è monotona decrescente ed è una funzione semicontinua inferiormente, per cui passando all'estremo inferiore si ottiene:

:

Mettendo insieme le relazioni trovate:

e si trova così la stima cercata.

Lipschitzianità del riordinamento[modifica | modifica wikitesto]

Sia tale che . Se è Lipschitziana con costante di Lipschitz allora anche la è Lipschitziana con la stessa costante di Lipschitz.

Norma del riordinamento[modifica | modifica wikitesto]

Se è una funzione appartiene allo spazio , anche il suo riordinamento appertiene a tale spazio, e inoltre la norma è la stessa. Quindi:

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Esprimendo il calcolo della norma di in funzione della misura dei sopralivelli:

Lo stesso calcolo vale per la norma di .

Norma del riordinamento[modifica | modifica wikitesto]

Vale la disuguaglianza di Polya-Szego, per cui se una funzione appartiene allo spazio anche il suo riordinamento appartiene a tale spazio, e inoltre la norma del riordinamento è minore o uguale alla norma della funzione.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • G.Talenti, Best Constant in Sobolev Inequality, Annali di Matematica Pura e Applicata, volume 110 (1976), pp.353-376.
  • (EN) Srinivasan Kesavan, Symmetrization & applications, Hackensack (New Jersey), World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2006, ISBN 981-256-733-X.
  • (EN) Bernhard Kawohl, Rearrangements and convexity of level sets in PDE, Berlino, Springer-Verlag, 1985, ISBN 3-540-15693-3.
  • (FR) Jacqueline Mossino, Inégalités isopérimétriques et applications en physique., Parigi, Hermann, 1984, ISBN 2-7056-5963-3.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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