Regola del prodotto

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Nell'analisi matematica, la regola del prodotto o regola di Leibniz è una regola di derivazione che nella sua forma generale permette di calcolare qualsiasi derivata -esima del prodotto di funzioni tutte derivabili:

Enunciato semplice[modifica | modifica wikitesto]

La derivata prima del prodotto di due funzioni derivabili in è uguale al prodotto della prima per la derivata della seconda più il prodotto della seconda funzione per la derivata della prima, che nella notazione di Lagrange si esprime:

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Applicando la definizione di derivata ed ipotizzando le funzioni e derivabili in :

Ora aggiungiamo e togliamo :

Raccogliendo e si ottiene

Siccome è, per ipotesi, derivabile in , quindi è qui anche continua: . Si conclude per la (1) che:

e quindi:

come volevasi dimostrare.

La scoperta di Leibniz[modifica | modifica wikitesto]

La scoperta di questa regola è stata attribuita al matematico Gottfried Leibniz - da cui il nome - che la dimostrò utilizzando il differenziale, utilizzando una sua particolare notazione, come di seguito riportata, in cui e sono due funzioni di . Allora il differenziale di è

Siccome il termine è "trascurabile" in quanto differenziale del second'ordine, Leibniz concluse che

Questo è identico alla forma differenziale della regola del prodotto. Se si divide entrambi per il differenziale , si ottiene

che corrisponde nella notazione di Lagrange a:

Funzioni costanti[modifica | modifica wikitesto]

Un caso particolare notevole è la derivata di una funzione per una costante :

ma , derivata di una costante, è uguale a , per cui, per l'annullamento del prodotto, rimane solo il primo termine; quindi

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Prodotto multiplo[modifica | modifica wikitesto]

La regola può essere generalizzata anche per una collezione di funzioni derivabili, ,e dimostrabile con un processo simile a quello già visto ottenendo la regola generale:

La derivata del prodotto di n funzioni è uguale alla sommatoria di n addendi ognuno dei quali contenente la derivata dell'n-esima funzione e le restanti non derivate.

più succintamente introducendo la produttoria e considerando le funzioni prive di zeri:

Applicazione polinomiale[modifica | modifica wikitesto]

Dall'applicazione della precedente si può dimostrare per induzione che

per intero positivo:[1] in fondo è una produttoria di funzioni uguali tutte uguali a , per cui per la generalizzazione, si otterrà una sommatoria di elementi tutti uguali tra loro:

ora applicando l'ipotesi induttiva del principio di induzione per e ricordando che è uguale a , possiamo riscrivere:

siccome x0 = 1 l'equazione è dimostrata.

Derivate successive[modifica | modifica wikitesto]

Le derivate successive -sime del prodotto di due funzioni è:

[2]

Il primo elemento è il coefficiente binomiale.

Applicazione polinomiale[modifica | modifica wikitesto]

Proviamo a derivare due volte la funzione

(la derivata di è sempre uguale a se stessa)

come prima, per quanto riguarda la derivazione di una funzione a esponente naturale:

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ per non intero e positivo occorre ricorrere ad altre dimostrazioni
  2. ^ Il riferimento apicale essendo tra parentesi non indica un esponente ma l'ordine di derivazione secondo la notazione di Lagrange

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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