Onda evanescente

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Un'onda evanescente è un particolare tipo di onda elettromagnetica piana non uniforme. Essa è fondamentale nello studio di fenomeni quali la riflessione totale.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Un'onda può essere classificata come evanescente se il suo vettore di attenuazione e il suo vettore di fase sono tra loro perpendicolari. Ciò non è possibile in un mezzo qualunque, ma solamente in quelli nei quali la conducibilità è nulla. Difatti, per definizione, il vettore di propagazione si può scrivere come

ma inoltre vale con permeabilità magnetica del mezzo e permettività dielettrica complessa del mezzo.

Deve quindi valere la coppia di relazioni:

In un'onda evanescente , ma tale relazione può essere rispettata solo in un mezzo in cui la conducibilità è nulla.

Onde evanescenti nei conduttori[modifica | modifica wikitesto]

Per semplicità, consideriamo il caso unidimensionale di un conduttore sottoposto ad un campo elettrico oscillante . Mettiamoci inoltre nell'approssimazione di campi deboli, così da poter trascurare gli effetti magnetici nel conduttore.
In queste ipotesi, l'equazione del moto per gli elettroni assume la forma:

ma in un conduttore gli elettroni sono liberi, e quindi il termine armonico si annulla (). Ci si riduce così all'equazione:

che ha come soluzione per la velocità:

e ricordando che per definizione vale dove con N si indica il numero di elettroni per unità di volume, si ottiene:

e definendo la frequenza di plasma come:

è possibile esprimere la densità di corrente come:

e ricordando la relazione è possibile introdurre la conducibilità generalizzata:

che, come è possibile notare, è in generale una quantità complessa.
Nel caso di basse frequenze essa è puramente reale, e ci si riconduce al caso omhico, nella quale la conducibilità non dipende dalla frequenza. Consideriamo invece alte frequenze , per le quali si ha un comportamento:

e si può quindi notare che la corrente è sfasata di rispetto al campo .
È giunta l'ora di considerare l'equazione di propagazione del campo elettrico, che come noto è:

avente soluzione del tipo:

sostituendola, insieme all'espressione ricavata per , nell'equazione d'onda, si ottiene la relazione di dispersione:

che nel limite di alte frequenze porta a:

ovvero

e, nel caso il numero d'onda k è puramente immaginario, il campo elettrico nel conduttore è della forma:

ovvero, il campo elettrico non si propaga all'interno del conduttore, ma penetra solo sino ad una distanza detta lunghezza di pelle inerziale:

In virtù di questa caratteristica, questo genere di onde vengono definite evanescenti.

Onde evanescenti all'interfaccia[modifica | modifica wikitesto]

Si immagini un'interfaccia piana, posta sul piano , tra due materiali con indice di rifrazione ed tra loro differenti. Si supponga ora che un'onda elettromagnetica piana e monocromatica si stia propagando nel mezzo con indice di rifrazione ed incida sull'interfaccia con un angolo , misurato rispetto alla normale. L'angolo con cui l'onda viene trasmessa è dato dalla legge di Snell:

da cui:

Se allora, oltre un determinato angolo d'incidenza , detto angolo critico, non è più possibile trovare un valore reale di che soddisfi la relazione di Snell. La funzione assume infatti solo valori nell'intervallo . Si può però trovare una soluzione alla legge di Snell nel campo dei numeri complessi. Per definizione, quando l'angolo d'incidenza corrisponde all'angolo critico, si ha . Quando l'angolo di incidenza è maggiore dell'angolo critico si può pensare di aggiungere artificialmente una componente immaginaria all'angolo di trasmissione. Scrivendo quindi , con numero reale, la legge di Snell diventa:

da cui:

dove si è utilizzata la relazione (con numero reale) che lega il coseno di un numero immaginario puro al coseno iperbolico. Il vettore d'onda della radiazione trasmessa si può quindi scrivere (supponendo senza perdita di generalità che il vettore d'onda non abbia componenti nella direzione spaziale , il che equivale ad un fronte d'onda parallelo all'asse ):

dove nuovamente si è fatto uso della relazione tra funzioni trigonometriche circolari ed iperboliche, , e dove si è posto . L'onda trasmessa si può scrivere, in questo formalismo (escludendo per brevità la parte dipendente dal tempo), come:

dove con il simbolo si vuole indicare il vettore posizione individuato dalle coordinate e .

Sostituendo nella formula del campo elettrico la forma precedentemente ricavata per in caso di angoli di incidenza maggiori dell'angolo di contatto, si ottiene:

Il campo elettrico, quando l'angolo di incidenza è maggiore dell'angolo critico, non dà luogo ad un'onda all'interno del mezzo 2: l'ampiezza decresce esponenzialmente lungo l'asse . Non vi è trasporto d'energia e la radiazione viene completamente riflessa. La presenza di un'onda evanescente all'interfaccia tra due materiali di diverso indice di rifrazione può essere quindi collegata ad un angolo di trasmissione definito nel campo dei numeri complessi.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Nello studio della riflessione totale tra due mezzi semi-infiniti si può dimostrare che se l'angolo di incidenza dell'onda è maggiore dell'angolo critico, nel mezzo 2 si instaura un'onda piana evanescente con vettore di fase parallelo alla superficie di separazione tra i mezzi e vettore di attenuazione quindi normale alla stessa.

Un'ulteriore proprietà importante di un'onda piana evanescente è che la parte reale del vettore di Poynting è parallela alla direzione di mentre la sua parte immaginaria è parallela alla direzione di .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • P. Marino, S. Scotto, Appunti di Fisica B II.
  • Michele Midrio, Campi Elettromagnetici, SGEditoriali, 2006, ISBN 88-86281-82-X

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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