Limite di Laplace

In matematica, il limite di Laplace è il valore massimo dell'eccentricità per il quale è convergente una soluzione all'equazione di Keplero espressa sotto forma di serie. Il suo valore approssimato è

0.66274 34193 49181 58097 47420 97109 25290.

L'equazione di Keplero $M=E-e\sin E$ è usata in astronomia e correla l'anomalia media M com l'anomalia eccentrica E di un corpo che si muove attraverso una traiettoria ellittica con eccentricità e. Queta equazione non ha soluzioni per E in termini di funzione elementare, ma può essere espressa come una serie di potenze:

$E=M+\sin(M)\,\varepsilon +{\tfrac {1}{2}}\sin(2M)\,\varepsilon ^{2}+\left({\tfrac {3}{8}}\sin(3M)-{\tfrac {1}{8}}\sin(M)\right)\,\varepsilon ^{3}+\cdots$

Laplace comprese che questa serie converge per piccoli valori dell'eccentricità ma diverge per ogni valore di M diverso da un multiplo di π se l'eccentricità è maggiore di un dato valore che non dipende da M: questo valore è appunto il limite di Laplace ed è il raggio di convergenza della serie.

Il valore si ottiene come soluzione dell'equazione:

${\frac {x\exp({\sqrt {1+x^{2}}})}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}=1$

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Limite di Laplace, su MathWorld, Wolfram Research.