In matematica, il lemma di Jordan (dal nome del suo ideatore, il matematico francese Camille Jordan) è usato per la risoluzione di integrali impropri tramite il calcolo di particolari integrali di linea.
Data una funzione
continua su
, sia
un arco di circonferenza centrato nell'origine del piano di Gauss e raggio
la cui ascissa curvilinea si estenda tra
e
, tali che
. Se
![{\displaystyle \lim _{R\rightarrow +\infty }\,\max _{\theta \in [\theta _{1};\theta _{2}]}|f(Re^{i\theta })|=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb67bc0bf98ed6f5cd970889160a5f1662aa2461)
allora
![{\displaystyle \lim _{R\rightarrow +\infty }\int _{\gamma _{R}}f(z)e^{i\omega z}dz=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eb1b36886e9959b5255f636fb2d1890b2867b6a)
ove
è un qualunque numero reale positivo.
Si osservi che tale arco di circonferenza giace nel semipiano superiore del piano di Gauss. In effetti è sufficiente che
sia omotopo ad un arco di circonferenza.
Essendo per ipotesi
![{\displaystyle \max _{z\in \gamma _{R}}\left|f(z)\right|=M_{R}\Rightarrow \lim _{R\rightarrow +\infty }M_{R}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5d6665db6f22051c0df5b4c3f4259ff04858cf0)
allora parametrizzando
![{\displaystyle 0\leq \left|\int _{\gamma _{R}}f(z)e^{i\omega z}dz\right|\leq \int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\left|f(Re^{it})e^{\omega iRe^{it}}iR\right|dt\leq R\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\left|f(Re^{it})\right|\cdot \left|e^{i\omega Re^{it}}\right|dt\leq M_{R}R\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\left|e^{i\omega Re^{it}}\right|dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469562df631fe535bd6d93324c0a678a533a95c9)
in particolare
![{\displaystyle \left|e^{i\omega Re^{it}}\right|=\left|e^{\omega Ri(\cos t+i\sin t)}\right|=\left|e^{\omega R(i\cos t-\sin t)}\right|\leq e^{-\omega R\sin t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90b289d0ba7b76c4b8ed909be2c8cbcfbc5bbec4)
quindi
![{\displaystyle 0\leq \left|\int _{\gamma _{R}}f(z)e^{i\omega z}dz\right|\leq M_{R}R\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}e^{-\omega R\sin t}dt\leq M_{R}R\int _{0}^{\pi }e^{-\omega R\sin t}dt=2M_{R}R\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}e^{-\omega R\sin t}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8248b1fab867dd04e84d85d927bc1065068b52c7)
la funzione
è maggiorante della funzione
quindi
![{\displaystyle 0\leq \left|\int _{\gamma _{R}}f(z)e^{i\omega z}dz\right|\leq 2M_{R}R\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}e^{-\omega R{\frac {2}{\pi }}t}dt=-2M_{R}R\left[e^{-\omega R{\frac {2}{\pi }}t}\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}\cdot {\frac {\pi }{2\omega R}}=-{\frac {\pi }{\omega }}M_{R}\left(e^{-\omega R}-1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/858fc6f2e637bf98b86b81b993730a395502eec4)
passando al limite per
![{\displaystyle 0\leq \lim _{R\rightarrow +\infty }\left|\int _{\gamma _{R}}f(z)e^{i\omega z}dz\right|\leq \lim _{R\rightarrow +\infty }-{\frac {\pi }{\omega }}M_{R}\left(e^{-\omega R}-1\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1778e1b94b6553a350fe4c558db763d82d5f3324)
ovvero l'asserto.
Omettendo l'ipotesi che
resta dimostrata la seguente stima
![{\displaystyle {\bigg |}\int _{\gamma _{R}}f(z)e^{i\omega z}dz{\bigg |}\leq {\frac {\pi }{\omega }}M_{R}(1-e^{-\omega R})\leq {\frac {\pi }{\omega }}M_{R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/941f496e1fbee1d533a8a62a5890f87aae082d19)
L'ipotesi fondamentale del teorema è che l'ascissa curvilinea dell'arco di circonferenza vari nell'intervallo
.
Sembrerebbe essere escluso il caso con
negativo, invece, il lemma resta valido con l'ipotesi che l'ascissa curvilinea dell'arco di circonferenza vari nell'intervallo
.
La dimostrazione è analoga fino alla maggiorazione di
con
, in quanto, per la periodicità della funzione seno si ottiene la maggiorazione
![{\displaystyle 0\leq \left|\int _{\gamma _{R}}f(z)e^{i\omega z}dz\right|\leq M_{R}R\int _{\pi }^{2\pi }e^{-\omega R\sin t}dt=M_{R}R\int _{-\pi }^{0}e^{-\omega R\sin t}dt=2M_{R}R\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{0}e^{-\omega R\sin t}dt\leq 2M_{R}R\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{0}e^{\omega R}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a622a8a5e7278c0a1840b9aed08a63b002923981)
da cui la maggiorazione
![{\displaystyle 0\leq \left|\int _{\gamma _{R}}f(z)e^{i\omega z}dz\right|\leq \pi e^{\omega R}M_{R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2558828abe33a595bcf731dc7a75d572be9e350a)
In certi integrali risulta impossibile abbinare la curva nel semipiano positivo con esponenziale ad esponente positivo, o viceversa. Un trucco molto utilizzato è il seguente.
Per esempio si potrebbe avere un integrale del genere:
![{\displaystyle \int _{\gamma _{R}}f(z)\,e^{-i\omega z}\,dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc8ea1b2755cab5dfe3203a69efa299c3f6b4299)
con una curva nel semipiano positivo. Si opera così dividendo l'integrale in tre parti
![{\displaystyle \int _{\gamma _{R}}=\int _{\Gamma }-\int _{{\tilde {\gamma }}_{R}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d97eebb3e8056116e4a80ce3507a5bf540d4c2d2)
ove su
si applica il teorema dei residui e tale curva è una circonferenza centrata nell'origine di raggio
.
Invece su
si applica il lemma di Jordan, in quanto la curva è nel semipiano negativo con esponenziale ad esponente negativo, quindi l'integrale esteso a
apporta un contributo nullo.
Insieme al lemma del cerchio grande ed al lemma del cerchio piccolo, si riesce a risolvere la tipologia di integrale aventi singolarità isolate, sia su tutto
che su una curva chiusa e regolare omotopa ad un arco di circonferenza.