Lemma di Jordan

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In matematica, il lemma di Jordan (dal nome del suo ideatore, il matematico francese Camille Jordan) è usato per la risoluzione di integrali impropri tramite il calcolo di particolari integrali di linea.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Data una continua su , sia un arco di circonferenza centrato nell'origine del piano di Gauss e raggio la cui ascissa curvilinea si estenda tra e , tali che . Se

allora

ove è un qualunque numero reale positivo.

Si osservi che tale arco di circonferenza giace nel semipiano superiore del piano di Gauss. In effetti è sufficiente che sia omotopo ad un arco di circonferenza.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Essendo per ipotesi

allora parametrizzando

in particolare

quindi

la funzione è minorata dalla funzione quindi

passando al limite per

ovvero l'asserto.

Osservazioni[modifica | modifica wikitesto]

Prima[modifica | modifica wikitesto]

Omettendo l'ipotesi che resta dimostrata la seguente stima

Seconda[modifica | modifica wikitesto]

L'ipotesi fondamentale del teorema è che l'ascissa curvilinea dell'arco di circonferenza vari nell'intervallo . Sembrerebbe essere escluso il caso con negativo, invece, il lemma resta valido con l'ipotesi che l'ascissa curvilinea dell'arco di circonferenza vari nell'intervallo .

La dimostrazione è analoga fino alla maggiorazione di con , in quanto, per la periodicità della funzione seno si ottiene la maggiorazione

da cui la maggiorazione

Terza[modifica | modifica wikitesto]

In certi integrali risulta impossibile abbinare la curva nel semipiano positivo con esponenziale ad esponente positivo, o viceversa. Un trucco molto utilizzato è il seguente.

Per esempio si potrebbe avere un integrale del genere:

con una curva nel semipiano positivo. Si opera così dividendo l'integrale in tre parti

ove su si applica il teorema dei residui e tale curva è una circonferenza centrata nell'origine di raggio .

Invece su si applica il lemma di Jordan, in quanto la curva è nel semipiano negativo con esponenziale ad esponente negativo, quindi l'integrale esteso a apporta un contributo nullo.

Quarta[modifica | modifica wikitesto]

Insieme al lemma del cerchio grande ed al lemma del cerchio piccolo, si riesce a risolvere la tipologia di integrale aventi singolarità isolate, sia su tutto che su una curva chiusa e regolare omotopa ad un arco di circonferenza.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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