Lemma del cerchio piccolo

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In analisi complessa, il lemma del cerchio piccolo (o lemma del piccolo arco di cerchio) permette la risoluzione di particolari integrali impropri aventi come integranda una funzione razionale. Tale lemma si divide in due parti.

Primo lemma[modifica | modifica wikitesto]

Sia un insieme aperto del piano complesso . Sia una funzione olomorfa, tale che:

Allora:

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Costruzione di una curva regolare a tratti per calcolare l'integrale

So che:

Riscrivendo il :

Mi calcolo quindi il modulo dell'integrale:

Poiché per ipotesi , posso portare fuori tutta la frazione, e risolvere l'integrale che è uguale alla lunghezza dell'arco di circonferenza compresa tra i due angoli . Quindi:

Conclusioni[modifica | modifica wikitesto]

Il primo lemma dimostra che data una continua in con singolarità isolata, precisamente un polo di ordine 1, l'integrale attorno a tale polo risulta nullo. Tale risultato, importante da un punto di vista teorico, è meno importante da un punto di vista risolutivo degli integrali.

Secondo lemma[modifica | modifica wikitesto]

Sia con polo semplice. Allora

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Sviluppando tramite serie di Laurent si otterrà:

rappresenta il primo termine noto della parte singolare della serie di Laurent. Applicando il segno di integrazione ad ambo i membri ottengo:

La è una funzione regolare e con il primo lemma, dinnanzi calcolato:

l'integrale della si annulla.

Parametrizzo la mia curva chiusa , , con . Sostituendo nell'integrale avrò:

di cui il coefficiente rappresenta proprio il .

Conclusioni[modifica | modifica wikitesto]

Il secondo lemma, rispetto al primo, è molto più utilizzato nella risoluzione di integrali, a patto che il polo presente sia del primo ordine, . Per ordini superiori tale lemma non è applicabile alla risoluzione degli integrali.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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