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In analisi complessa, il lemma del cerchio grande (o lemma del grande arco di cerchio) permette di risolvere integrali impropri aventi come integranda una funzione razionale.
Sia
un insieme aperto illimitato del piano complesso
. Sia
olomorfa in
e tale che:
![{\displaystyle \lim _{z\in \Omega ;\,|z|\rightarrow +\infty }zf(z)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e51aad55e0ba142e2697e5bf16b577a398b00aa5)
allora
![{\displaystyle \lim _{R\rightarrow +\infty }\,\,\int _{\gamma _{R}\cap \Omega }f(z)\,dz=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d99786bec00d1d9aec304e7d163928c49895c690)
dove
rappresenta il raggio della semicirconferenza utilizzata per creare una curva chiusa attorno a un polo.
Costruzione di una curva regolare a tratti per calcolare l'integrale
Si ha che:
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\,\exists \,\,M>0:\forall \,R>M\Rightarrow \left|\int _{\gamma _{R}\cap \Omega }f(z)\,dz\right|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c32f36ad8a3aef0510e6c0adb69df181bc673000)
Inoltre vale che:
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\,\exists \,\,{\frac {\varepsilon }{\phi _{2}-\phi _{1}}}\,:\,\forall z,\,\left|z\right|>M\,\,\Rightarrow \left|z\cdot f(z)\right|<{\frac {\varepsilon }{\phi _{2}-\phi _{1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a964c20bc14920b7da5ea6a007e45ff98b50835d)
Si calcola di seguito il modulo dell'integrale:
![{\displaystyle \left|\int _{\gamma _{R}\cap \Omega }f(z)\,dz\right|\leq \int _{\gamma _{R}\cap \Omega }\left|f(z)\,dz\right|\leq \int _{\gamma _{R}\cap \Omega }{\frac {\varepsilon }{(\phi _{2}-\phi _{1})\left|z\right|}}\,dz=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d6b1d2878a9531499677425c982bb04626bc70b)
Poiché si è supposto
, con
, ed essendo
il raggio della circonferenza, si può portare fuori dal segno di integrale tutta la frazione. Quindi:
![{\displaystyle ={\frac {\varepsilon }{(\phi _{2}-\phi _{1})\left|z\right|}}\int _{\gamma _{R}\cap \Omega }dz={\frac {\varepsilon }{(\phi _{2}-\phi _{1})\left|z\right|}}\cdot (\phi _{2}-\phi _{1})\left|z\right|=\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ac84e1e907e4b5a80b113d6bdfc59ec9b6cee98)
L'integrale rimasto non è altro che la lunghezza dell'arco di circonferenza compresa tra i due angoli
.