Legge di Benford

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Prima cifra
n P(x=n)
1 30,1%
2 17,6%
3 12,5%
4 9,7%
5 7,9%
6 6,7%
7 5,8%
8 5,1%
9 4,6%
Prime due cifre
n P(x=n)
10 4,1%
11 3,8%
12 3,5%
13 3,2%
14 3,0%
... ...
ecc. ecc.
... ...
99 0,4%
Diagramma a torta della distribuzione della prima cifra

La distribuzione di Benford, meglio nota come legge di Benford, o come legge della prima cifra, descrive la distribuzione di probabilità con cui compare la prima cifra dei numeri in molti esempi di raccolte di dati reali (p.es. popolazione dei comuni, quotazioni di azioni, costanti fisiche o matematiche, numero di strade esistenti nelle località). Nel caso della cifra "1", ad esempio, questa variabile casuale discreta dovrebbe essere nel 30,1% dei casi la prima cifra. La funzione di probabilità è data da

Una delle estensioni della legge di Benford prende in considerazione la coppia delle prime due cifre (da 10 a 99 dunque), lasciando invariata la formula, ma modificandone solo l'intervallo di validità, da [1,9] a [10,99].

Una breve spiegazione intuitiva del perché una tale disparità di distribuzione accada in "natura" (con la cifra "1" che si presenta con maggior frequenza, poi, a seguire, la cifra 2 e così via) tiene conto del fatto che nel contare si inizia dal numero 1 in avanti fino al 9. Se si restringe il campo ai soli numeri da 1 a 9 è chiaro che la probabilità che una cifra inizi con 1 o 2 o 3 o 9 debba essere sempre uguale. Laddove, però, già si inizino a prendere in considerazione i numeri da 1 a 20, vi saranno molti più numeri che iniziano con la cifra 1 (da 10 a 19). Se si prendono quelli da 1 a 30, si avranno molti che iniziano con 1 ma anche con 2. Come si può facilmente notare, per avere, ad esempio, numeri che inizino con 9, occorre andare molto in là con i numeri e ciò, quindi, farà aumentare anche la quantità di quelli che inizieranno con 1 o con 2 e quindi con cifre basse, per cui in una distribuzione di numeri legati a superfici, popolazioni, sarà più alta la probabilità di averne che inizino con 1 piuttosto che con 9. La cosa comunque singolare è che Benford riuscì a far vedere che, per molte distribuzioni, la probabilità che un numero inizi con una certa cifra tra 1 e 9 è sempre la stessa (30,1% per la cifra 1, 17,6% per la cifra 2, 4,6% per la cifra 9)

Storia[modifica | modifica wikitesto]

Scoperte, riscoperte e approfondimenti[modifica | modifica wikitesto]

La legge di Benford pare sia stata scoperta dal matematico e astronomo Simon Newcomb e descritta nell'"American Journal of Mathematics" nel 1881. Secondo quello che forse è solo un aneddoto, Newcomb notò come, nei libri con le tavole dei logaritmi, le pagine con le tabelle aventi "1" quale prima cifra fossero molto più sporche delle altre, forse perché usate più spesso. Venne controargomentato che in qualsiasi libro al quale si accede alle pagine in modo sequenziale le prime sarebbero state più usate delle ultime.

In seguito, nel 1938, fu il fisico Frank Benford ad analizzare raccolte di numeri provenienti da molti altri ambiti di applicazione e questo fece sì che la legge venisse attribuita al suo nome.

Nel 1996, Ted Hill dimostrò il teorema sulle distribuzioni miste.

I dati presentati da Benford nel 1938[modifica | modifica wikitesto]

Titolo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Valori
Fiumi, superfici 31,0 16,4 10,7 11,3 7,2 8,6 5,5 4,2 5,1 3,5
Popolazione 33,9 20,4 14,2 8,1 7,2 6,2 4,1 3,7 2,2 32,9
Costanti 41,3 14,4 4,8 8,6 10,6 5,8 1,0 2,9 10,6 1,4
Quotidiani 30,0 18,0 12,0 10,0 8,0 6,0 6,0 5,0 5,0 1,0
Calore specifico 24,0 18,4 16,2 14,6 10,6 4,1 3,2 4,8 4,1 13,9
Pressioni 29,6 18,3 12,8 9,8 8,3 6,4 5,7 4,4 4,7 7,3
H.P. Lost 30,0 18,4 11,9 10,8 8,1 7,0 5,1 5,1 3,6 6,0
Peso molecolare 26,7 25,2 15,4 10,8 6,7 5,1 4,1 2,8 3,2 18,0
Drenaggio 27,1 23,9 13,8 12,6 8,2 5,0 5,0 2,5 1,9 1,9
Peso atomico 47,2 18,7 5,5 4,4 6,6 4,4 3,3 4,4 5,5 91
1/n, √n 25,7 20,3 9,7 6,8 6,6 6,8 7,2 8,0 8,9 50,0
Design 26,8 14,8 14,3 7,5 8,3 8,4 7,0 7,3 5,6 5,0
Reader's Digest 33,4 18,5 12,4 7,5 7,1 6,5 5,5 4,9 4,2 3,8
Coste 32,4 18,8 10,1 10,1 9,8 5,5 4,7 5,5 3,1 7,1
X-Ray Volts 27,9 17,5 14,4 9,0 8,1 7,4 5,1 5,8 4,8 7,7
American League 32,7 17,6 12,6 9,8 7,4 6,4 4,9 5,6 3,0 14,8
Blackbody 31,0 17,3 14,1 8,7 6,6 7,0 5,2 4,7 5,4 11,5
Indirizzi 28,9 19,2 12,6 8,8 8,5 6,4 5,6 5,0 5,0 3,2
n, n², n³, …, n! 25,3 16,0 12,0 10,0 8,5 8,8 6,8 7,1 5,5 9,0
Tassi di mortalità 27,0 18,6 15,7 9,4 6,7 6,5 7,2 4,8 4,1 4,8
Media 30,6 18,5 12,4 9,4 8,0 6,4 5,1 4,9 4,7 10,1
Errore probabile ± 0,8 ± 0,4 ± 0,4 ± 0,3 ± 0,2 ± 0,2 ± 0,2 ± 0,3

Bibliografia storica[modifica | modifica wikitesto]

  • 1881 - Simon Newcomb, "Note on the Frequency of Use of the Different Digits in Natural Numbers" in The American Journal of Mathematics
  • 1938 - Frank Benford, "The Law of Anomalous Numbers" in Proc. Amer. Phil. Soc.
  • 1961 - Roger Pinkham, "On the distribution of first significant digits" in Ann. Math. Statist.
  • 1972 - Hal R. Varian, "Benford's law" in American Statistician
  • 1976 - R. A. Raimi, "The first digit problem" in American Mathematical Monthly
  • 1992 - Mark Nigrini, "The detection of income evasion through an analysis of digital distributions", tesi di dottorato presso l'Università di Cincinnati
  • 1995 - T. P. Hill, "Base-Invariance Implies Benford's Law" in Proc. Amer. Math. Soc.
  • 1996 - T. P. Hill, "The statistical derivation of the significant digit law" in Statistical Science
  • 1996 - Mark Nigrini, "A taxpayer compliance application of Benford's Law" in Journal of the American Taxation Association

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Abitanti dei comuni italiani al censimento 2001[modifica | modifica wikitesto]

Prima cifra
n Comuni  %
1 2547 31,0
2 1391 16,9
3 1057 12,9
4 791 9,6
5 632 7,7
6 544 6,6
7 484 5,9
8 406 4,9
9 365 4,4
Totale 8217 100,0
 
Prime due cifre
n Comuni  %
10 343 4,2
11 309 3,8
12 320 3,9
13 262 3,2
14 273 3,3
15 220 2,7
... ... ...
97 24 0,3
98 30 0,4
99 19 0,2

Ambiti di applicazioni e limiti[modifica | modifica wikitesto]

Nel 1972, Hal Varian suggerì la possibilità di utilizzare questa legge per individuare eventuali falsificazioni nelle raccolte di dati usate per sostenere decisioni politiche, basandosi sul presupposto che chi vuole "addomesticare" dei dati ha una preferenza a usare numeri con cifre distribuite in modo non "naturale". Confrontando la frequenza relativa delle prime cifre dei numeri usati con la v.c. di Benford si potrebbero così evidenziare risultati anomali. Alla stessa maniera, si può usare questa variabile casuale per cercare falsificazioni in raccolte di dati riguardanti assicurazioni, costi, entrate, scritture contabili di aziende, ecc.

Nel 1992 Mark Nigrini propose l'utilizzo di questa variabile casuale per mettere alla prova la credibilità delle scritture contabili, dopo averla sperimentata con successo su casi reali in cui vi era frode accertata.

Tuttavia, è necessaria una certa prudenza prima di applicare la legge di Benford, in quanto solo un insieme di numeri scelti a caso da una data variabile casuale obbedisce a tale legge, mentre in un insieme di dati "reali" in cui siano stati imposti dei limiti (anche in modo inconsapevole), essa può, ma non deve, seguire tale legge. Per esempio, mentre la distribuzione della prima cifra di statistiche quali "popolazione dei comuni italiani che cominciano con la lettera F" oppure "quotazione delle azioni che hanno subito una perdita nella giornata di borsa" si suppone segua la v.c. di Benford, ciò non è presumibilmente più valido se la statistica viene definita in modi come "popolazione dei comuni italiani con 1000 fino 9999 abitanti".

Metodologia[modifica | modifica wikitesto]

Funzione di probabilità[modifica | modifica wikitesto]

La funzione di probabilità è

Il valore atteso è E(X)=μ=3,44, la varianza pari a σ²=6,06 e l'asimmetria =0,79, nel caso che x debba essere compreso tra 1 e 9 (inclusi).

Al di là delle spiegazioni "comuni", la v.c. di Benford può essere costruita facendo ricorso a ζ la funzione zeta di Riemann (vedasi pure variabile casuale Zeta).

Teoremi e corollari[modifica | modifica wikitesto]

Invarianza di scala[modifica | modifica wikitesto]

Se un fenomeno segue la legge di Benford, allora moltiplicando tutti i valori per un numero prefissato, si ottiene una nuova raccolta di valori che seguono a loro volta la legge di Benford.

Esempio: se le quotazioni espresse in Lire delle azioni quotate in borsa seguono la legge di Benford, allora le stesse quotazioni espresse in Euro seguono anch'esse la legge di Benford.

L'invarianza di scala richiede che

Essendo richiesto che e che anche si ricava che la forma dev'essere del tipo 1/x. Effettivamente

per

è una distribuzione continua di probabilità che produce valori casuali le cui prime cifre rispettano la legge di Benford.

Probabilità della seconda cifra[modifica | modifica wikitesto]

seconda cifra
n P(y=n)
0 12,0%
1 11,4%
2 10,9%
3 10,4%
4 10,0%
5 9,7%
6 9,3%
7 9,0%
8 8,8%
9 8,5%

La probabilità che la seconda cifra sia n è pari a

per

Tale formula può essere generalizzata per determinare la probabilità della terza, quarta cifra, le quali sono sempre più "equamente" distribuite (ovvero la differenza tra la prima e l'ultima tende a ridursi).

Generalizzazione a sistemi non decimali[modifica | modifica wikitesto]

Per un qualsiasi sistema numerico a base B, la probabilità della prima "cifra" diventa

dove d indica la prima "cifra" e ln il logaritmo naturale di base e (vale a dire ln=loge)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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