Elemento assorbente

In matematica, un elemento assorbente è un particolare tipo di elemento di un insieme rispetto ad un'operazione binaria nel dato insieme. Il risultato della combinazione di un elemento assorbente con qualsiasi altro elemento dell'insieme è l'elemento assorbente stesso. Nella teoria dei semigruppi, l'elemento assorbente è chiamato elemento zero.^[1]^[2]

Definizione

Sia $(S,\circ )$ una coppia ordinata di un insieme e un'operazione binaria definita nell'insieme stesso (cioè un magma). Un elemento assorbente $z$ di $S$ è tale che, per tutti gli elementi $s$ di $S$ , si ha $z\circ s=s\circ z=z$ .

Una definizione più ampia distingue due tipi di elemento assorbente: l'elemento zero destro, per cui $s\circ z=z$ per ogni $s\in S$ , e l'elemento zero sinistro, per cui $z\circ s=z$ per ogni $s\in S$ .^[2] Un elemento che sia zero destro che zero sinistro è un elemento assorbente secondo la definizione precedente.

Proprietà

Se un magma gode di un elemento zero destro $z$ ed uno zero sinistro $z'$ , allora essi coincidono e costituiscono l'elemento zero del magma. Infatti, $z=z'\times z=z'$ .
Se un magma ha un elemento assorbente, esso è unico.

Esempi

Insieme	Operazione	Elemento assorbente
numeri reali	· (moltiplicazione)	0
numeri interi	massimo comun divisore	1
matrici quadrate	· (moltiplicazione)	matrice nulla
numeri reali estesi	elemento minimo	−∞
numeri reali estesi	elemento massimo	+∞
insiemi	∩ (intersezione)	{ } (insieme vuoto)
sottoinsiemi di M	∪ (unione)	M
logica booleana	∧ (congiunzione logica)	⊥ (falso)
logica booleana	∨ (disgiunzione inclusiva)	⊤ (vero)
Insieme	Operazione	Elemento zero sinistro
numeri reali	: (divisione)	0

Note

↑ Howie, pp. 2-3.
1 2 Kilp, Knauer, Mikhalev, pp. 14-15.

Bibliografia

(EN) John M. Howie, Fundamentals of Semigroup Theory, Clarendon Press, 1995, ISBN 0-19-851194-9.
(EN) M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, in De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7.
(EN) Jonathan Golan, Semirings and Their Applications, Springer, 1999, ISBN 0-7923-5786-8.