Dimostrazione della trascendenza di e

La prima dimostrazione della trascendenza di e sul campo dei numeri razionali $\mathbb {Q}$ fu completata nel 1873 ad opera di Charles Hermite. Successivamente David Hilbert (1862–1943) ne fornì una versione semplificata.

La dimostrazione di Hilbert

Supponiamo per assurdo che ${\text{e}}$ sia un numero algebrico e cioè che esista un insieme finito di coefficienti razionali non nulli $c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n}$ che soddisfano l'equazione

$c_{0}+c_{1}{\text{e}}+c_{2}{\text{e}}^{2}+\cdots +c_{n}{\text{e}}^{n}=0.$

A meno di moltiplicare per il denominatore comune dei coefficienti, non è restrittivo supporre che tali coefficienti siano interi. Si può inoltre supporre che $n$ sia il minimo intero per cui esistano dei tali coefficienti.

Per ogni coppia di interi $k$ e $l$, siano $G$ e $H$ le funzioni definite da

$G(k,l):=\int _{l}^{+\infty }x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}{\text{e}}^{-x}\,{\text{d}}x,$

$H(k,l):=\int _{0}^{l}x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}{\text{e}}^{-x}\,{\text{d}}x.$

Per ogni $k$ consideriamo l'equazione ottenuta moltiplicando per $G(k,0)$ ambo i membri dell'equazione

$c_{0}+c_{1}{\text{e}}+c_{2}{\text{e}}^{2}+\cdots +c_{n}{\text{e}}^{n}=0$

in modo da ottenere

$G(k,0)(c_{0}+c_{1}{\text{e}}+c_{2}{\text{e}}^{2}+\cdots +c_{n}{\text{e}}^{n})=0.$

Dalla definizione di $G$ e $H$ discende che $G(k,0)=G(k,l)+H(k,l)$ per ogni coppia di interi $k$, $l$ e dunque l'equazione precedente può anche essere scritta nella forma

$P_{1}(k)+P_{2}(k)=0$

dove

$P_{1}(k)=c_{0}G(k,0)+c_{1}{\text{e}}G(k,1)+c_{2}{\text{e}}^{2}G(k,2)+\cdots +c_{n}{\text{e}}^{n}G(k,n)$

$P_{2}(k)=c_{1}{\text{e}}H(k,1)+c_{2}{\text{e}}^{2}H(k,2)+\cdots +c_{n}{\text{e}}^{n}H(k,n).$

Per completare la dimostrazione basta dunque mostrare che per $k$ sufficientemente grande

${\frac {P_{1}(k)}{k!}}$

è un intero non-nullo mentre

${\frac {P_{2}(k)}{k!}}$

non è intero, in quanto tali fatti sono in contraddizione con l'equazione

$P_{1}(k)+P_{2}(k)=0.$

Il fatto che il primo numero sia un intero risulta dall'identità

$\int _{0}^{+\infty }x^{j}{\text{e}}^{-x}\,{\text{d}}x=j!$

che è valida per ogni intero positivo $j$ e può essere dimostrata per induzione usando l'integrazione per parti.

Per mostrare che per $k$ sufficientemente grande il secondo numero non è intero, è sufficiente provare che $\exists k_{0}\;:\;\forall k>k_{0}$ si ha

$0<\left|{\frac {P_{2}(k)}{k!}}\right|<1.$

A questo scopo, notiamo dapprima che

$x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}{\text{e}}^{-x}$

è il prodotto delle funzioni

$[x(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k}\quad$e$\quad (x-1)(x-2)\cdots (x-n){\text{e}}^{-x}.$

Osserviamo poi che, se denotiamo rispettivamente con $R$ e $S$ i massimi di

$|x(x-1)(x-2)\cdots (x-n)|,\quad |(x-1)(x-2)\cdots (x-n){\text{e}}^{-x}|$

sull'intervallo $[0,n]$, si ha

$|P_{2}(k)|\leq |c_{1}|{\text{e}}SR^{k}+|c_{2}|2{\text{e}}^{2}SR^{k}+\cdots +|c_{n}|n{\text{e}}^{n}SR^{k}\leq TR^{k}$

per un'opportuna costante $T$. Di conseguenza

$\lim _{k\to +\infty }\left|{\frac {P_{2}(k)}{k!}}\right|\leq \lim _{k\to +\infty }{\frac {TR^{k}}{k!}}=0$

e dunque

$\lim _{k\to +\infty }{\frac {P_{2}(k)}{k!}}=0.$

Quindi, per la definizione di limite, $\exists k_{0}\,:\,\forall k>k_{0}$ risulta

$\left|{\frac {P_{2}(k)}{k!}}\right|<1.$

Per concludere la dimostrazione basta quindi mostrare che questo numero è diverso da zero, e ciò segue dalla minimalità di $n$ in quanto $\forall k$ risulta $H(k,n)\neq 0$.

Una strategia simile, differente dall'approccio originale di Lindemann, può essere usata per mostrare che π è trascendente.