Dimostrazione della trascendenza di e

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La prima dimostrazione della trascendenza di e sul campo dei numeri razionali fu completata nel 1873 ad opera di Charles Hermite. Successivamente David Hilbert (1862–1943) ne fornì una versione semplificata.

La dimostrazione di Hilbert[modifica | modifica wikitesto]

Supponiamo per assurdo che sia un numero algebrico e cioè che esista un insieme finito di coefficienti razionali non nulli che soddisfano l'equazione

A meno di moltiplicare per il denominatore comune dei coefficienti, non è restrittivo supporre che tali coefficienti siano interi. Si può inoltre supporre che sia il minimo intero per cui esistano dei tali coefficienti.

Per ogni coppia di interi e , siano e le funzioni definite da

Per ogni consideriamo l'equazione ottenuta moltiplicando per ambo i membri dell'equazione

in modo da ottenere

Dalla definizione di e discende che per ogni coppia di interi , e dunque l'equazione precedente può anche essere scritta nella forma

dove

Per completare la dimostrazione basta dunque mostrare che per sufficientemente grande

è un intero non-nullo mentre

non è intero, in quanto tali fatti sono in contraddizione con l'equazione

Il fatto che il primo numero sia un intero risulta dall'identità

che è valida per ogni intero positivo e può essere dimostrata per induzione usando l'integrazione per parti.

Per mostrare che per sufficientemente grande il secondo numero non è intero, è sufficiente provare che si ha

A questo scopo, notiamo dapprima che

è il prodotto delle funzioni

e

Osserviamo poi che, se denotiamo rispettivamente con e i massimi di

sull'intervallo , si ha

per un'opportuna costante . Di conseguenza

e dunque

Quindi, per la definizione di limite, risulta

Per concludere la dimostrazione basta quindi mostrare che questo numero è diverso da zero, e ciò segue dalla minimalità di in quanto risulta .

Una strategia simile, differente dall'approccio originale di Lindemann, può essere usata per mostrare che π è trascendente.

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