Dimostrazione che 22/7 è maggiore di π

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Le dimostrazioni del famoso risultato matematico che il numero razionale è maggiore di π (pi greco) risalgono fino all'antichità. Una di queste dimostrazioni, recentemente sviluppata e che richiede solo conoscenze elementari dell'analisi, ha attirato l'attenzione dei matematici moderni per la sua eleganza matematica e la sua connessione alla teoria dell'approssimazioni diofantee. Stephen Lucas definì questa dimostrazione «uno dei più bei risultati sull'approssimazione di ».[1] Julian Havil concluse una discussione sulle approssimazioni della frazione continua di con questa disuguaglianza, affermando che fosse «impossibile resistere dal menzionarla» in quel contesto.[2]

Lo scopo principale della dimostrazione non è quello di convincere i lettore che (o ) è effettivamente maggiore di ; esistono infatti dei metodi sistematici per calcolare il valore di . Se si sa che è approssimativamente , allora segue banalmente che , il quale è circa . Tuttavia è più semplice dimostrare che utilizzando il metodo di questa dimostrazione invece di mostrare che è approssimativamente .

Storia[modifica | modifica wikitesto]

è una approssimazione diofantea di largamente usata. È un troncamento dello sviluppo in frazione continua semplice di , ed è maggiore di quest'ultimo, come si può chiaramente notare dagli sviluppi decimali dei due valori:

L'approssimazione è nota fin dall'antichità. Archimede scrisse nel III secolo a.C. la prima dimostrazione conosciuta che è una sovrastima, sebbene probabilmente non fosse il primo a utilizzare tale approssimazione. La sua dimostrazione procede mostrando che è maggiore del rapporto tra il perimetro di un poligono regolare circoscritto di 96 lati e il diametro del cerchio.[3] Un'altra approssimazione razionale di e ancora più accurata è 355/113.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

La dimostrazione può essere espressa succintamente come:

perciò, .

Il calcolo di questo integrale fu il primo problema nella Putnam Competition del 1968.[4]

Dettagli sul calcolo dell'integrale[modifica | modifica wikitesto]

Che l'integrale è positivo segue dal fatto che l'integrando è non negativo, essendo un rapporto fra somme e prodotti di potenze di numeri reali non negativi. Inoltre, si può verificare che è strettamente positivo in almeno un punto dell'intervallo di integrazione, ad esempio . Poiché l'integrando è continuo in tale punto e è non negativo altrove, l'integrale da a deve essere strettamente positivo.

Rimane da dimostrare che il valore dell'integrale è la quantità desiderata:

Semplici stime superiori e inferiori[modifica | modifica wikitesto]

In Dalzell (1944), si osserva che sostituendo al posto di nel denominatore, si ottiene un limite inferiore dell'integrale, e invece sostituendo una sua stima superiore:[5]

Quindi si ottiene

perciò in espansione decimale . Le stime differiscono da meno del 0.015%. Vedere anche Dalzell (1971).[6]

Dimostrazione che 355/113 è maggiore di π[modifica | modifica wikitesto]

Come discusso in Lucas (2005), la ben conosciuta e migliore approssimazione diofantea 355/113 per segue in modo analogo dalla seguente relazione

Si noti che

dove le prime sei cifre decimali coincidono con quelle di . Sostituendo nella al denominatore, si ottiene il limite inferiore

mentre sostituendo se ne ottiene il doppio come stima superiore, quindi

In espansione decimale, questo significa che 3.141592 57 < < 3.141592 74, dove le cifre in grassetto sono le stesse di .

Estensioni[modifica | modifica wikitesto]

Si possono generalizzare le idee precedenti per ottenere approssimazioni sempre migliori di ; vedere anche Backhouse (1995)[7] e Lucas (2005) (in entrambi i riferimenti, tuttavia, non compaiono i calcoli). Per i calcoli espliciti, si consideri, per ogni intero ,

dove l'integrale centrale vale

in cui compare . L'ultima somma appare anche nella formula di Leibniz per π. La stima dell'errore è dato da

dove l'approssimazione (la indica che sono asintoticamente equivalenti per ) del coefficiente binomiale centrale segue dall'approssimazione di Stirling e mostra la convergenza rapida dell'integrale a .

Calcolo di questi integrali

Per ogni intero e si ha

Applicando ricorsivamente questa formula volte si ricava

Inoltre,

dove la prima uguaglianza vale poiché per i termini si cancellano, e la seconda arriva dal cambio di indice nella prima somma.

L'applicazione di questi due risultati fornisce

Per , utilizzando l'integrazione per parti volte, si ottiene

Impostando , si ha

Integrando l'equazione (1) da 0 a 1 usando l'equazione (2) e , si ottiene l'equazione voluta che coinvolge .

I risultati per sono stati dati precedentemente. Per si ottiene

e

quindi 3.141592 31 < < 3.141592 89, dove le cifre in grassetto sono quelle di . In modo simile, per

e stima dell'errore

perciò 3.141592653 40 < < 3.141592653 87. Proseguendo con ,

con

da cui si ricava 3.141592653589 55 < < 3.141592653589 96.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Stephen Lucas, Integral proofs that 355/113 > π (PDF), in Australian Mathematical Society Gazette, vol. 32, n. 4, 2005, pp. 263–266, MR 2176249, Zbl 1181.11077.
  2. ^ Julian Havil, Gamma. Exploring Euler's Constant, Princeton, NJ, Princeton University Press, 2003, p. 96, ISBN 0-691-09983-9, MR 1968276, Zbl 1023.11001.
  3. ^ Archimedes, Measurement of a circle, in T.L. Heath (a cura di), The Works of Archimedes, Dover Publications, 2002 [1897], pp. 93-96, ISBN 0-486-42084-1.
  4. ^ Gerald L. Alexanderson, Leonard F. Klosinski e Loren C. Larson (a cura di), The William Lowell Putnam Mathematical Competition: Problems and Solutions: 1965–1984, Washington, DC, The Mathematical Association of America, 1985, ISBN 0-88385-463-5, Zbl 0584.00003.
  5. ^ D. P. Dalzell, On 22/7, in Journal of the London Mathematical Society, vol. 19, 75 Part 3, 1944, pp. 133–134, DOI:10.1112/jlms/19.75_part_3.133, MR 0013425, Zbl 0060.15306..
  6. ^ D. P. Dalzell, On 22/7 and 355/113, in Eureka; the Archimedeans' Journal, vol. 34, 1971, pp. 10–13, ISSN 0071-2248 (WC · ACNP)..
  7. ^ Nigel Backhouse, Note 79.36, Pancake functions and approximations to π, in The Mathematical Gazette, vol. 79, n. 485, July 1995, pp. 371–374, JSTOR 3618318.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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