Approssimazione diofantea

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L'approssimazione diofantea è il campo della matematica che tratta dell'approssimazione dei numeri reali mediante numeri razionali. Prende il nome dal matematico greco Diofanto di Alessandria.

Descrizione[modifica | modifica wikitesto]

La piccolezza della distanza (in valore assoluto) del numero reale da approssimare al numero razionale che lo approssima è una semplice misura della bontà dell'approssimazione. Una misura più fine considera bontà dell'approssimazione confrontando la differenza tra i due numeri con la grandezza del denominatore.

Attraverso l'uso di frazioni continue è possibile dimostrare che ogni convergente di ogni numero irrazionale è tale che

Questa disuguaglianza può essere migliorata fino a dimostrare che, per ogni irrazionale , esistono infiniti razionali tali che

Disuguaglianze più precise (ovvero dove è sostituito da un numero maggiore) possono avere un numero solo finito di soluzioni; questo è il caso se il numero irrazionale in questione è il numero aureo .

Joseph Liouville, nel 1844, dimostrò che se il numero è algebrico di grado n (cioè esiste un polinomio di grado n che lo ammette come radice, ma non esistono polinomi di grado inferiore con questa proprietà), allora per ogni numero razionale vale

per qualche costante A > 0. Liouville riuscì anche a costruire dei numeri che non verificano questa proprietà (i numeri di Liouville), che furono i primi esempi di numeri non algebrici, cioè trascendenti.

Anche questa disuguaglianza può essere migliorata. Axel Thue, Carl Ludwig Siegel e Klaus Roth migliorarono successivamente questo teorema: nel 1955, Roth enunciò quello che oggi è noto come teorema di Thue-Siegel-Roth, che afferma che per ogni esistono solamente un numero finito di razionali tali che

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Controllo di autoritàThesaurus BNCF 58805 · LCCN (ENsh85006189 · GND (DE4135760-7 · BNF (FRcb13163483b (data) · J9U (ENHE987007294015105171 · NDL (ENJA00561502
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