Dimostrazione della irrazionalità di π

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1leftarrow blue.svgVoce principale: Pi greco.

Sono state date molte dimostrazioni dell'irrazionalità di pi greco, di queste alcune a opera di Johann Heinrich Lambert, Adrien-Marie Legendre e Niven.

Dimostrazione di Adrien-Marie Legendre (1794)[modifica | modifica wikitesto]

Si dimostra che è irrazionale.

Sia , definiamo come

,

dove l'ultimo membro segue dal teorema binomiale. Poiché è un polinomio di -esimo grado di sarà per ogni e per ogni intero . Inoltre per ogni poiché il minimo esponente con cui compare in è .

Se si ha d'altra parte:

,

per cui per ogni abbiamo che

.

Queste considerazioni mostrano che per ogni .

Da cui, essendo , abbiamo anche .

Supponiamo ora, per assurdo, che esistano tali che .

Definiamo come:

.

Per quanto detto prima , sono interi.

Inoltre, ricordando che , abbiamo:

Da questi calcoli si trova che:

.

Si ha quindi:

Poiché per ogni abbiamo che , otteniamo che

.

Quindi

D'altra parte,

quindi, per sufficientemente grande,

Abbiamo quindi trovato che

Ma non esistono interi nell'intervallo , quindi abbiamo raggiunto un assurdo.

Questo mostra che (e quindi anche ) è irrazionale.

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Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]