Dimostrazione della irrazionalità di π

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1leftarrow blue.svgVoce principale: Pi greco.

Sono state date molte dimostrazioni dell'irrazionalità di pi greco, di queste alcune a opera di Johann Heinrich Lambert, Adrien-Marie Legendre e Niven.

Dimostrazione di Adrien-Marie Legendre (1794)[modifica | modifica wikitesto]

Si dimostra che è irrazionale.

Sia un intero positivo, definiamo come

dove l'ultimo membro segue dal teorema binomiale. Poiché è un polinomio di -esimo grado di sarà per ogni e per ogni intero Inoltre per ogni poiché il minimo esponente con cui compare in è

Se si ha d'altra parte:

per cui per ogni abbiamo che

Queste considerazioni mostrano che per ogni Da cui, essendo abbiamo anche

Supponiamo ora, per assurdo, che esistano due interi positivi e tali che Definiamo come:

Per quanto detto prima e sono interi. Inoltre, ricordando che abbiamo:

Da questi calcoli segue che:

Si ha quindi:

Poiché per ogni abbiamo che otteniamo che

Quindi

D'altra parte,

quindi, per sufficientemente grande,

Abbiamo quindi trovato che

Ma non esistono interi nell'intervallo , quindi abbiamo raggiunto un assurdo. Questo mostra che (e quindi anche ) è irrazionale.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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