Criterio di Weierstrass

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In analisi matematica, il criterio di Weierstrass, conosciuto anche come M-test, è un importante risultato riguardante la convergenza totale (e di conseguenza la convergenza uniforme) di serie di funzioni di variabile complessa o reale.

Il criterio[modifica | modifica wikitesto]

Sia una successione di funzioni a valori complessi. Se per ogni esiste tale che:

e si ha:

allora la serie:

converge totalmente in .

Questo risultato è spesso utilizzato insieme al teorema del limite uniforme, il quale afferma che il limite (relativo alla convergenza uniforme) di ogni successione di funzioni continue è continuo. Insieme, i due enunciati stabiliscono che se, in aggiunta alle condizioni precedenti, è uno spazio topologico e le funzioni sono continue su , allora la serie converge ad una funzione continua.

Generalizzazione[modifica | modifica wikitesto]

Se il codominio di è uno spazio di Banach si ottiene una generalizzazione del teorema, in cui la disuguaglianza:

può essere rimpiazzata da:

dove è la norma sullo spazio di Banach.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Sia . Presi con , date le ipotesi del teorema si ha:

La serie a termini non-negativi converge, quindi per ogni esiste tale che per ogni si verifica:

Scegliendo e sufficientemente grandi si ha quindi:

Per ogni la successione è di Cauchy nello spazio metrico completo , pertanto converge a . Definendo la funzione e facendo tendere a nella precedente relazione si ha:

ovvero converge uniformemente a .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Walter Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill Science/Engineering/Math, gennaio 1991, ISBN 0-07-054236-8.
  • (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill Science/Engineering/Math, maggio 1986, ISBN 0-07-054234-1.
  • (EN) Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill Science/Engineering/Math, 1976.
  • (EN) E. T. Whittaker; G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, fourth edition. Cambridge University Press, 1927.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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