Criterio di Weierstrass

In analisi matematica, il criterio di Weierstrass, conosciuto anche come M-test, è un importante risultato riguardante la convergenza totale (e di conseguenza la convergenza uniforme) di serie di funzioni di variabile complessa o reale.

Il criterio

Sia $f_{n}:A\subseteq \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ una successione di funzioni a valori complessi. Se per ogni $n\in \mathbb {N}$ esiste $M_{n}\geq 0$ tale che:

$|f_{n}(z)|\leq M_{n},\qquad \forall z\in A$

e si ha:

$\sum _{n=1}^{+\infty }M_{n}<+\infty ,$

allora la serie:

$\sum _{n=1}^{+\infty }f_{n}(z)$

converge totalmente e uniformemente in $A$.

Questo risultato è spesso utilizzato insieme al teorema del limite uniforme, il quale afferma che il limite (relativo alla convergenza uniforme) di ogni successione di funzioni continue è continuo. Insieme, i due enunciati stabiliscono che se, in aggiunta alle condizioni precedenti, $A$ è uno spazio topologico e le funzioni $f_{n}$ sono continue su $A$, allora la serie converge ad una funzione continua.

Generalizzazione

Se il codominio di $f_{n}$ è uno spazio di Banach si ottiene una generalizzazione del teorema, in cui la disuguaglianza:

$|f_{n}(z)|\leq M_{n}$

può essere rimpiazzata da:

$\|f_{n}(z)\|\leq M_{n}$

dove $\|\cdot \|$ è la norma sullo spazio di Banach.

Dimostrazione

Sia $S_{n}(z)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(z)$. Presi $n,m\in \mathbb {N}$ con $m>n$, date le ipotesi del teorema si ha:

$|S_{m}(z)-S_{n}(z)|=|\sum _{k=n+1}^{k=m}f_{k}(z)|\leq \sum _{k=n+1}^{k=m}|f_{k}(z)|\leq \sum _{k=n+1}^{k=m}M_{k}\qquad \forall z\in A$

La serie a termini non-negativi $\sum _{k=1}^{+\infty }M_{k}$ converge, quindi per ogni $\epsilon >0$ esiste $n_{0}$ tale che per ogni $n>n_{0}$ si verifica:

$\sum _{k=n}^{k=+\infty }M_{k}<\epsilon$

Scegliendo $n$ e $m$ sufficientemente grandi si ha quindi:

$|S_{m}(z)-S_{n}(z)|\leq \sum _{k=n+1}^{k=m}M_{k}\leq \sum _{k=n}^{k=+\infty }M_{k}<\epsilon \qquad \forall z\in A$

Per ogni $z$ la successione $S_{n}(z)$ è di Cauchy nello spazio metrico completo $\mathbb {C}$, pertanto converge a $l_{z}$. Definendo la funzione $S(z)=l_{z}$ e facendo tendere $m$ a $+\infty$ nella precedente relazione si ha:

$|S(z)-S_{n}(z)|\leq \sum _{k=n+1}^{k=+\infty }M_{k}<\epsilon \ \qquad \forall z\in A\quad \forall n>n_{0}$

ovvero $S_{n}(z)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(z)$ converge uniformemente a $S(z)$.

Bibliografia

• (EN) Walter Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill Science/Engineering/Math, gennaio 1991, ISBN 0-07-054236-8.
• (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill Science/Engineering/Math, maggio 1986, ISBN 0-07-054234-1.
• (EN) Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill Science/Engineering/Math, 1976.
• (EN) E. T. Whittaker; G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, fourth edition. Cambridge University Press, 1927.

Voci correlate

• Serie di funzioni
• Successione di funzioni

Collegamenti esterni

• (EN) Weierstrass M-test, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Criterio di Weierstrass, su MathWorld, Wolfram Research.