Congettura di von Neumann

In matematica, la congettura di von Neumann sosteneva che un gruppo topologico G non è amenabile se e solo se G contiene un sottogruppo che è un gruppo libero su due generatori. La congettura è stata smentita nel 1980.

Storia

Nel 1929, durante il suo lavoro pionieristico sul paradosso di Banach-Tarski, John von Neumann ha dimostrato che nessun gruppo amenabile contiene un sottogruppo libero di rango 2. La somiglianza superficiale all'alternativa di Tits per i gruppi di matrici suggeriva che fosse vero il contrario (che ogni gruppo che non è amenabile contenesse un sottogruppo libero su due generatori). Anche se il nome di von Neumann è comunemente messo in relazione alla congettura di cui è vero il contrario, la sua prima formulazione scritta è attribuita a Mahlon Day nel 1957.

L'alternativa di Tits è un teorema fondamentale che, in particolare, limita la congettura all'interno della classe dei gruppi lineari.

Il primo potenziale controesempio storicamente è il gruppo F di Thompson. Mentre la sua amenabilità è un problema aperto, la congettura generale è stata confutata nel 1980 da Alexander Ol'shanskii; dimostrò che i gruppi mostri di Tarski, costruiti da lui, dei quali si evidenzia facilmente non avere sottogruppi liberi di rango 2, non sono amenabili. Due anni dopo, Sergei Adian ha dimostrato che alcuni gruppi di Burnside sono anche controesempi. Nessuno di questi controesempi è una presentazione di un gruppo e per alcuni anni si è ritenuto possibile che la congettura fosse valida per gruppi finitamente presentati. Tuttavia, nel 2003, Alexander Ol'shanskii e Mark Sapir hanno mostrato un insieme di gruppi finitamente presentati che non soddisfano la congettura.

Nel 2013, Nicolas Monod ha trovato un facile gruppo di controesempio alla congettura. Dato da omomorfismi proiettivi a tratti, il gruppo è notevolmente semplice da comprendere. Anche se non è amenabile, condivide molte proprietà conosciute di gruppi amenabili in modo semplice. Nel 2013, Yash Lodha e Justin Tatch Moore hanno isolato un sottogruppo non amenabile costituito da una presentazione finita del gruppo di Monod. Questo fornisce il primo controesempio finito privo di torsione e ammette una presentazione con 3 generatori e 9 relazioni. Lodha in seguito ha dimostrato che questo gruppo soddisfa la proprietà $F_{\infty }$, che è una proprietà di finitezza più forte.

Bibliografia

• (RU) Sergei Adian, Random walks on free periodic groups, in Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat., vol. 46, n. 6, 1982, pp. 1139–1149, 1343, Zbl 0512.60012.
• Mahlon M. Day, Amenable semigroups, in Ill. J. Math., vol. 1, 1957, pp. 509–544, Zbl 0078.29402.
• (RU) Alexander Ol'shanskii, On the question of the existence of an invariant mean on a group, in Uspekhi Mat. Nauk, vol. 35, n. 4, 1980, pp. 199–200, Zbl 0452.20032.
• Alexander Ol'shanskii e Mark Sapir, Non-amenable finitely presented torsion-by-cyclic groups, in Publications Mathématiques de l'IHÉS, vol. 96, n. 1, 2003, pp. 43–169, DOI:10.1007/s10240-002-0006-7, Zbl 1050.20019, arXiv:math/0208237.
• Nicolas Monod, Groups of piecewise projective homeomorphisms, in Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, vol. 110, n. 12, 2013, pp. 4524–4527, Bibcode:2013PNAS..110.4524M, DOI:10.1073/pnas.1218426110, Zbl 1305.57002, arXiv:1209.5229.
• Yash Lodha e Justin Tatch Moore, A nonamenable finitely presented group of piecewise projective homeomorphisms, in Groups, Geometry, and Dynamics, vol. 10, n. 1, 2016, pp. 177–200, DOI:10.4171/GGD/347, MR 3460335, arXiv:1308.4250v3.
• Yash Lodha, A nonamenable type $F_{\infty }$ group of piecewise projective homeomorphisms, in Journal of Topology, vol. 13, n. 4, 2020, pp. 1767–1838, DOI:10.1112/topo.12172.