Congettura di von Neumann

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In matematica, la congettura di von Neumann sosteneva che un gruppo topologico G non è amenabile se e solo se G contiene un sottogruppo che è un gruppo libero su due generatori. La congettura è stata smentita nel 1980.

Nel 1920, durante il suo lavoro pionieristico sul paradosso di Banach-Tarski, John von Neumann ha dimostrato che nessun gruppo amenabile contiene un sottogruppo libero di rango 2. La somiglianza superficiale all'alternativa di Tits per i gruppi di matrici suggeriva che fosse vero il contrario (che ogni gruppo che non è amenabile contenesse un sottogruppo libero su due generatori). Anche se il nome di von Neumann è comunemente messo in relazione alla congettura di cui è vero il contrario, non sembra che von Neumann stesso vi credesse [senza fonte]. Piuttosto, questa proposta è stata fatta da un numero di autori diversi negli anni cinquanta e sessanta, compresa una dichiarazione attribuita a Mahlon Day nel 1957.

La congettura fu confutata nel 1980 da Alexander Ol'shanskii; egli dimostrò che il gruppo mostro di Tarski, per il quale è facilmente evidenziabile l'inesistenza di un sottogruppo libero di rango 2, non è amenabile. Due anni dopo, Sergei Adian ha dimostrato che alcuni gruppi di Burnside sono anche dei controesempi. Nessuno di questi controesempi costituisce una presentazione di un gruppo, e per alcuni anni si è ritenuto possibile che la congettura restasse valida per le presentazioni finite. Tuttavia, nel 2003, Ol'shanskii e Mark Sapir hanno mostrato un insieme di gruppi finitamente presentati, che non soddisfano la congettura.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (RU) S. Adian, Random walks on free periodic groups in Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat., vol. 46, 1982, pp. 1139–1149, 1343.
  • (RU) A. Ol'shanskii, On the question of the existence of an invariant mean on a group in Uspekhi Mat. Nauk, vol. 35, 1980, pp. 199–200.
  • A. Ol'shanskii, M. Sapir, 1 in Non-amenable finitely presented torsion-by-cyclic groups, Publications Mathématiques de L'IHÉS, vol. 96, 2003, pp. 43–169, DOI:10.1007/s10240-002-0006-7.
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