Congettura di von Neumann

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In matematica, la congettura di von Neumann sosteneva che un gruppo topologico G non è amenabile se e solo se G contiene un sottogruppo che è un gruppo libero su due generatori. La congettura è stata smentita nel 1980.

Nel 1920, durante il suo lavoro pionieristico sullo spazio di Banach, John von Neumann ha dimostrato che nessun gruppo amenabile contiene un sottogruppo libero di rango 2. La somiglianza superficiale all'alternativa di Tits per i gruppi di matrici suggeriva che fosse vero il contrario (che ogni gruppo che non è amenabile contenesse un sottogruppo libero su due generatori). Anche se il nome di von Neumann è comunemente messo in relazione alla congettura di cui è vero il contrario, non sembra che von Neumann stesso vi credesse [senza fonte]. Piuttosto, questa proposta è stata fatta da un numero di autori diversi negli anni cinquanta e sessanta, compresa una dichiarazione attribuita a Mahlon Day nel 1957.

La congettura fu confutata nel 1980 da Alexander Ol'shanskii; egli dimostrò che il gruppo mostro di Tarski, per il quale è facilmente evidenziabile l'inesistenza di un sottogruppo libero di rango 2, non è amenabile. Due anni dopo, Sergei Adian ha dimostrato che alcuni gruppi di Burnside sono anche dei controesempi. Nessuno di questi controesempi costituisce una presentazione di un gruppo, e per alcuni anni si è ritenuto possibile che la congettura restasse valida per le presentazioni finite. Tuttavia, nel 2003, Ol'shanskii e Mark Sapir hanno mostrato un insieme di gruppi finitamente presentati, che non soddisfano la congettura.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (RU) S. Adian, Random walks on free periodic groups in Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat., vol. 46, 1982, pp. 1139–1149, 1343.
  • (RU) A. Ol'shanskii, On the question of the existence of an invariant mean on a group in Uspekhi Mat. Nauk, vol. 35, 1980, pp. 199–200.
  • A. Ol'shanskii, M. Sapir, 1 in Non-amenable finitely presented torsion-by-cyclic groups, Publications Mathématiques de L'IHÉS, vol. 96, 2003, pp. 43–169. DOI:10.1007/s10240-002-0006-7.
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