Congettura di Schanuel

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In matematica, la congettura di Schanuel afferma quanto segue:

Dato un insieme di n numeri complessi (z_1, ..., z_n) linearmente indipendenti sull'insieme dei razionali \mathbb{Q} allora la sua estensione di campi Q(z_1,...,z_n,e^{z_1},...,e^{z_n}) ha grado di trascendenza almeno n su \mathbb{Q}.

La congettura è stata formulata da Stephen Schanuel nei primi anni sessanta ma ad oggi non solo non ne esiste una dimostrazione, ma pare che questa sia fuori portata[1].

La congettura, se dimostrata, implicherebbe il Teorema di Lindemann-Weierstrass e quello di Gelfond-Schneider, oltre ad altri risultati sulle proprietà trascendenti della funzione esponenziale, tra cui anche la non ancora dimostrata indipendenza algebrica di \pi ed e.

L'enunciato inverso della Congettura di Schanuel è il seguente:

Siano F un campo numerabile a caratteristica nulla ed e:F \rightarrow F un omomorfismo dal gruppo additivo (F, +) al gruppo moltiplicativo (F, \cdot) il cui nucleo è ciclico. Si supponga inoltre che per ogni insieme di n elementi (x_1, ...,x_n) di F linearmente indipendenti su \mathbb{Q}, l'estensione di campi Q(x_1, ..., x_n, e(x_1),..., e(x_n)) abbia grado di trascendenza almeno n su \mathbb{Q}. Allora, sotto tali condizioni, esiste un omomorfismo di campo h:F \rightarrow C tale per cui h(e(x))=e^{h(x)} per ogni x di F.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Chow, T. Y. "What is a Closed-Form Number." Amer. Math. Monthly 106, 440-448, 1999.

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