Completezza (statistica)

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In statistica la completezza è una proprietà legata ad una misura di probabilità, tale per cui è possibile stimare tutti i parametri appartenenti a tale distribuzione tramite delle statistiche date ed assicura che le distribuzioni in corrispondenza di parametri diversi saranno distinte.

La completezza è di notevole rilievo per la ricerca di stimatori non distorti a varianza minima analizzata nel teorema di Lehmann-Scheffè.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Data una misura di probabilità avente legge di probabilità : .

Diremo che il vettore è completo rispetto al parametro se funzione misurabile e si ha che se:

implica che quasi certamente, ovvero

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Sia con la distribuzione continua uniforme e . Data una funzione misurabile ho che :

implica:

Perciò semplificando ottengo:

Da cui:

e per il teorema fondamentale del calcolo integrale ottengo:

Perciò quasi certamente

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Data una statistica ed una biezione indipendente da allora è anch'essa una statistica completa per

Famiglia esponenziale[modifica | modifica wikitesto]

Date variabili aleatorie indipendenti ed identicamente distribuite, diremo che definita la funzione di densità, essa apparterrà alla famiglia esponenziale con parametro se può essere scritta in questo modo:

Con e con supporto indipendente da

Se vale tale proprietà allora e sono variabili aleatorie complete se contiene un intervallo non degenere

Teorema di Lehmann-Scheffè[modifica | modifica wikitesto]

Dato un campione aleatorio indipendente ed identicamente distribuito ed un parametro

Data una statistica che è sufficiente e completa per e dato uno stimatore del parametro  : che è non distorto .

Allora è l'unico stimatore non distorto a minima varianza di

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Capasso Morale, Una guida allo studio della probabilità e della statistica matematica II, ed. 2013 p. 340-347 ISBN 978-88-7488-628-9

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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