Forme di Chern-Simons
In matematica, le forme di Chern-Simons sono certe classi caratteristiche secondarie. Sono sembrate utili nella teoria di gauge, e (soprattutto la terza forma) costituiscono il fondamento della teoria di Chern-Simons che deve il suo nome ai due autori Shiing-Shen Chern e James Harris Simons.
Definizione
[modifica | modifica wikitesto]Data una varietà di 1-forma A a valori in un'algebra di Lie, si può definire una famiglia di p-forme:
In una dimensione, la 1-forma di Chern-Simons viene data da:
- .
![{\displaystyle Tr[\mathbf {A} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cee43c7b3ed0f6d0dec5060994e7a47a3eb2312)
In tre dimensioni, la 3-forma di Chern-Simons viene data da:
- .
![{\displaystyle Tr[\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae33be7345adbe8a571b35bee9d6591ddd8afb6e)
In cinque dimensioni, la 5-forma di Chern-Simons viene data da:
![{\displaystyle Tr[\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{2}}\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {1}{10}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/342dd65e0af4690e6ce2502e00e1f5d435d839a6)
dove si definisce la curvatura come:
- .
La forma generale di Chern-Simons ω2k-1 si definisce in maniera tale che dω2k-1 = Tr (Fk) dove si utilizza per definire Fk il prodotto wedge.
Vedere la teoria di gauge per maggiori dettagli.
In generale, la p-forma di Chern-Simons si definisce per ogni p dispari. Vedere la teoria di gauge per le definizioni. Il suo integrale su una varietà p-dimensionale è un invariante di omotopia. Questo valore si chiama numero di Chern.
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- Chern, S.-S.; Simons, J (1974), Characteristic forms and geometric invariants, The Annals of Mathematics, Second Series 99 (1): 48-69
- Pilo Luigi, ChernSimons field theory and invariants of 3manifolds, Scuola Normale Superiore (collana Tesi), pag 222, 1999, ISBN 978-88-7642-278-2
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- Formulazione di Chern-Simons per la Gravità Affine (PDF), su theory.fi.infn.it. URL consultato il 10 aprile 2009 (archiviato dall'url originale il 10 maggio 2006).
