Forme di Chern-Simons

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In matematica, le forme de Chern-Simons sono certe classi caratteristiche secondarie. Sono sembrate utili nella teoria di gauge, e (soprattutto la terza forma) costituiscono il fondamento della teoria di Chern-Simons che deve il suo nome ai due autori Shiing-Shen Chern e James Harris Simons.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Data una varietà di 1-forma A a valori in un'algebra di Lie, si può definire una famiglia di p-forme:

In una dimensione, la 1-forma di Chern-Simons viene data da:

Tr[\bold{A}].

In tre dimensioni, la 3-forma di Chern-Simons viene data da:

Tr[\bold{F}\wedge\bold{A}-\frac{1}{3}\bold{A}\wedge\bold{A}\wedge\bold{A}].

In cinque dimensioni, la 5-forma di Chern-Simons viene data da:

Tr[\bold{F}\wedge\bold{F}\wedge\bold{A}-\frac{1}{2}\bold{F}\wedge\bold{A}\wedge\bold{A}\wedge\bold{A} +\frac{1}{10}\bold{A}\wedge\bold{A}\wedge\bold{A}\wedge\bold{A}\wedge\bold{A}]

dove si definisce la curvatura F come:

d\bold{A}+\bold{A}\wedge\bold{A}.

La forma generale di Chern-Simons ω2k-1 si definisce in maniera tale che dω2k-1 = Tr (Fk) dove si utilizza per definire Fk il prodotto cuneo.

Vedere la teoria di gauge per maggiori dettagli.

In generale, la p-forma di Chern-Simons si definisce per ogni p dispari. Vedere la teoria di gauge per le definizioni. Il suo integrale su una varietà p-dimensionale è un invariante di omotopia. Questo valore si chiama numero di Chern.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Chern, S.-S.; Simons, J (1974), Characteristic forms and geometric invariants, The Annals of Mathematics, Second Series 99 (1): 48-69
  • Pilo Luigi, Chern­Simons field theory and invariants of 3­manifolds, Scuola Normale Superiore (collana Tesi), pag 222, 1999, ISBN 978-88-7642-278-2

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]


Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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