Teorema di rigidità di Mostow

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In geometria differenziale, il teorema di rigidità di Mostow asserisce che una varietà iperbolica completa e di volume finito è determinata dal suo gruppo fondamentale. Il teorema vale soltanto in dimensione maggiore o uguale di tre.

Il teorema è stato dimostrato da Mostow nel 1968 per le varietà compatte e quindi esteso da Prasad a tutte le varietà complete di volume finito. La versione estesa è a volte chiamata teorema di Mostow-Prasad.

Enunciato[modifica | modifica sorgente]

L'enunciato del teorema di rigidità di Mostow-Prasad è il seguente.

Siano M e N due varietà iperboliche complete e di volume finito della stessa dimensione n>2. Ogni isomorfismo

f_*:\pi_1(M)\to\pi_1(N)

fra i gruppi fondamentali è indotto da una isometria

f:M\to N.

Il teorema è valido in particolare per tutte le 3-varietà iperboliche chiuse: queste sono infatti automaticamente complete e di volume finito.

Il teorema implica che due varietà iperboliche di dimensione n>2 con gruppi fondamentali isomorfi sono isometriche, e quindi omeomorfe.

Biografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN)  G. D. Mostow, Quasi-conformal mappings in n-space and the rigidity of the hyperbolic space forms, Publ. Math. IHES 34 (1968) 53-104.
  • (EN) Mikhail Gromov, Hyperbolic manifolds according to Thurston and Jorgensen, Séminaire Bourbaki, 32eme année, 1979/80, pp 40-53.
  • (EN) R. J. Spatzier, Harmonic Analysis in Rigidity Theory, (1993) pp. 153-205, in Ergodic Theory and its Connection with Harmonic Analysis, Proceedings of the 1993 Alexandria Conference, Karl. E. Petersen, Ibrahim A. Salama, eds. Cambridge University Press (1995) ISBN 0-521-45999-0. Descrive vari teoremi di rigidità.
  • (EN) William Thurston, The geometry and topology of 3-manifolds, Princeton lecture notes (1978-1981). Contiene due dimostrazioni del teorema: una simile a quella di Mostow e un'altra che usa la norma di Gromov.