Teorema di densità di Lebesgue

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In matematica, il teorema di densità di Lebesgue afferma che per ogni insieme Lebesgue-misurabile A la densità di A è pari 1 in quasi ogni punto di A, dove la densità in un punto è il limite della misura dell'intersezione tra A e una palla centrata nel punto, diviso per la misura della palla, nel limite in cui quest'ultima ha un raggio che tende a zero.

Si tratta di un caso particolare del teorema di Lebesgue.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Sia \mu la misura di Lebesgue su \R^n e sia A un insieme Lebesgue-misurabile contenuto in \R^n. La "densità approssimata" di A in una palla B_\varepsilon di raggio \varepsilon centrata in x \in \R^n è definita come:

 d_\varepsilon(x)=\frac{\mu(A\cap B_\varepsilon(x))}{\mu(B_\varepsilon(x))}

Il teorema di densità di Lebesgue afferma che per quasi ogni punto x \in A la densità, definita come:

 d(x)=\lim_{\varepsilon\to 0} d_{\varepsilon}(x)

esiste e vale 1.

La densità di ogni A misurabile può essere quindi 0 oppure 1 quasi ovunque in \R^n. Se si verifica che \mu(A) > 0 e \mu(\R^n \setminus A)>0, inoltre, allora è certa l'esistenza di punti in \R^n dove la densità non è né 0 né 1. Ad esempio, se si considera un quadrato in un piano, la densità al suo interno è 1, sul bordo 1/2 e negli angoli 1/4. L'insieme dei punti nel piano in cui la densità non è né 0 né 1 non è vuoto (i bordi del quadrato), ma costituisce un insieme di misura nulla.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Pertti Mattila, Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces: Fractals and Rectifiability, 1999, ISBN 978-0-521-65595-8.
  • (EN) Hallard T. Croft. Three lattice-point problems of Steinhaus. Quart. J. Math. Oxford (2), 33:71-83, 1982.
  • (EN) Elias M. Stein, Rami Shakarchi, Princeton Lectures in Analysis III: Real Analysis:Measure theory,Lebesgue integration, and Hilbert Spaces, Princeton, Princeton University Press, 2005.

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