Teorema di Paley-Wiener

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Il teorema di Paley-Wiener, noto anche come criterio di Paley-Wiener, è una relazione matematica che consente di determinare se un sistema lineare tempo invariante è causale o meno. Il teorema consente solo di stabilire la causalità e non dà indicazioni su come rendere causale un sistema che non lo è.

L'applicabilità del teorema di Paley-Wiener richiede come condizione necessaria che

\int_{-\infty}^{+\infty} \left | H(f) \right |^2 \,\mathrm{d}f <\infty

ovvero che la risposta in frequenza del sistema sia quadrato integrabile o assolutamente sommabile.

Se tale condizione è verificata la condizione necessaria ma non sufficiente per l'applicabilità del teorema di Paley-Wiener è che

\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\left | ln(\left|H(f)\right|) \right |}{1 +(2 \pi f)^2} \,\mathrm{d}f <\infty

In questo caso

 \H(f)=\left|H(f)\right| e^{j\phi(f)}

è possibile, sotto la verifica delle ipotesi, trovare una \phi(f) per cui il filtro sia causale.

Un tipico campo di applicazione del criterio riguarda i filtri reali. I filtri ideali infatti non sono causali e non possono essere resi tali in quanto la loro risposta in frequenza è nulla su intervalli frequenziali di misura non nulla: questo implica la divergenza del secondo integrale e quindi non sarebbe verificata la condizione necessaria del teorema. Esempi elementari di filtri reali del secondo ordine, del tipo R-C e C-R sono invece causali, perché le loro risposte impulsive rispettano le condizioni del teorema.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Teoria dei segnali (M. Luise - G. Vitetta) - 3ª edizione Mc Graw - Hill
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