Teorema di Darboux (geometria)

In geometria, in particolare in geometria simplettica, il teorema di Darboux è un importante risultato da cui discende il fatto che due qualsiasi varietà simplettiche della stessa dimensione sono localmente simplettomorfe, ed in particolare sono simplettomorfe a $\mathbb {R} ^{2n}$ con la forma simplettica standard $\omega _{0}$.

Il teorema

Sia $(M,\omega )$ una varietà simplettica, e sia $p\in M$ un punto su di essa. Allora, esiste una carta locale definita in un intorno $U_{0}$ di $p$,

$(U_{0};x^{1},\dots ,x^{n},y_{1},\dots ,y_{n})$

tale che su $U_{0}$

$\omega _{0}=\sum _{i=1}^{n}d{x_{i}}\wedge d{y_{i}}$

Dimostrazione

Per dimostrare il teorema si applica il teorema relativo di Moser sulla sottovarietà $X=\{P\}$ con

$i:X\hookrightarrow M\qquad P\mapsto p$

Scegliendo una qualsiasi base simplettica per $T_{p}M$ si possono definire le coordinate

$({\tilde {x}}_{1},\dots ,{\tilde {x}}_{n},{\tilde {y}}_{1},\dots ,{\tilde {y}}_{n})$

in un qualche intorno $U_{1}$ di $p$ tali che

$\omega _{1}|_{p}=\sum _{i}d{{\tilde {x}}_{i}}\wedge d{{\tilde {y}}_{i}}|_{p}$

Il teorema relativo di Moser assicura l'esistenza di un diffeomorfismo $\phi :U_{0}\to U_{1}$ tale che

$\phi ^{*}\omega _{1}=\omega _{0}$

Ora, dal momento che

$\phi ^{*}\omega _{1}=\phi ^{*}\left(\sum _{i}d{{\tilde {x}}_{i}}\wedge d{{\tilde {y}}_{i}}\right)=\sum _{i}d{({\tilde {x}}_{i}\circ \phi )}\wedge d{({\tilde {y}}_{i}\circ \phi )}$

è sufficiente scegliere come coordinate $x_{i}={\tilde {x}}_{i}\circ \phi$ e $y_{i}={\tilde {y}}_{i}\circ \phi$.

Conseguenze

Come conseguenza del teorema di Darboux si può affermare che localmente le varietà simplettiche di una stessa dimensione sono tutte isomorfe a $(\mathbb {R} ^{2n},\omega _{0})$. Pertanto, se si dimostra una certa proprietà locale su $(\mathbb {R} ^{2n},\omega _{0})$ che sia invariante per simplettomorfismi , allora questa sarà valida su ogni varietà simplettica di dimensione $2n$.

A differenza delle varietà riemanniane, che si possono classificare localmente tramite la curvatura, le varietà simplettiche non ammettono invarianti locali.