Teorema di Moser

Il teorema di Moser è un teorema nell'ambito della geometria delle varietà simplettiche.

Il teorema

Sia $(M,\omega _{t})$ una varietà simplettica per ogni $t\in [0,1]$, dove $\omega _{t}=(1-t)\omega _{0}+t\omega _{1}$ e $[\omega _{0}]=[\omega _{1}]\in H^{2}(M)$ (ovvero le due forme $\omega _{0},\omega _{1}$ appartengono alla stessa classe nella coomologia di de Rham della varietà). Allora, esiste una famiglia di diffeomorfismi

$\rho \colon M\times \mathbb {R} \to M,\qquad (x,t)\mapsto \rho _{t}(x),$

tale che $\rho _{t}^{*}\omega _{t}=\omega _{0}.$

Dimostrazione

Per dimostrare il teorema prima dimostriamo che esiste un campo vettoriale dipendente dal tempo $V_{t}\in {\mathfrak {X}}(M)$ che soddisfa la seguente equazione (equazione di Moser)

${\mathcal {L}}_{V_{t}}\omega _{t}+{\frac {d\omega _{t}}{dt}}=0.$

Infatti, per quanto riguarda il primo addendo si ottiene (applicando la formula di Cartan per la derivata di Lie)

${\mathcal {L}}_{V_{t}}\omega _{t}=di_{V_{t}}\omega _{t}+i_{V_{t}}d\omega _{t}=di_{V_{t}}\omega _{t},$

dove si tenuto conto che $d\omega _{t}=0$. Per il secondo addendo invece, usando la definizione di $\omega _{t}$ ${\frac {d\omega _{t}}{dt}}=\omega _{1}-\omega _{0}$ ma dal momento che $[\omega _{0}]=[\omega _{1}]$ allora $\omega _{1}-\omega _{0}=d\mu$ per una qualche 1-forma $\mu$. L'equazione da provare diventa pertanto $d(i_{V_{t}}\omega _{t}+\mu )=0$ la quale, dal momento che $\omega _{t}$ è non degenere, è equivalente a

$i_{V_{t}}\omega _{t}+\mu =0\Longrightarrow \omega _{t}(V_{t},\cdot )=-\mu \Longrightarrow \omega _{t}^{\sharp }(V_{t})=-\mu \Longrightarrow V_{t}=\omega _{t}^{\flat }(-\mu ).$

Pertanto, l'equazione di Moser è soddisfatta da un campo della forma $V_{t}=\omega _{t}^{\flat }(-\mu )$.

Per dimostrare il teorema basta notare che

$\rho _{t}^{*}\left({\mathcal {L}}_{V_{t}}\omega _{t}+{\frac {d\omega _{t}}{dt}}\right)={\frac {d}{dt}}(\rho _{t}^{*}\omega _{t}),$

dove $\rho _{t}$ è il flusso di $V_{t}$. Scegliendo opportunamente il campo $V_{t}$ la precedente equazione si riduce a

${\frac {d}{dt}}(\rho _{t}^{*}\omega _{t})=0.$

Pertanto $\rho _{t}^{*}\omega _{t}$ non dipende da $t$ e dunque $\rho _{0}^{*}\omega _{0}=\omega _{0}=\rho _{t}^{*}\omega _{t}$.

Il teorema di Moser relativo

Date due strutture simplettiche $(M,\omega _{0})$, $(M,\omega _{1})$ su una stessa varietà compatta $M$, e data una sottovarietà compatta $i\colon X\hookrightarrow M$ tale che

$\omega _{0}|_{i(X)}=\omega _{1}|_{i(X)}$

si ha che esistono due intorni $U_{0},U_{1}$ di $i(X)\subseteq M$ ed un diffeomorfismo $\phi \colon U_{0}\to U_{1}$ tali che $\phi ^{*}\omega _{1}=\omega _{0}$.

Dimostrazione

Si prenda $U_{0}$ come intorno tubulare di $i(X)$. Per ipotesi, si ha che esiste una qualche 1-forma $\mu$ tale che $\omega _{1}-\omega _{0}=d\mu$. Possiamo scegliere che valga $\mu |_{i(X)}=0$. Si consideri la seguente forma simplettica

$\omega _{t}=(1-t)\omega _{0}+t\omega _{1},$

per $t\in [0,1]$: possiamo dire che $\omega _{t}$ è simplettica su $U_{0}$, a meno di riscalamenti convessi per eliminare eventuali punti di singolarità della forma. È sufficiente applicare il primo teorema di Moser per trovare un diffeomorfismo $\phi _{t}\colon U_{0}\to U_{0}$ tale che $\phi _{t}^{*}\omega _{t}=\omega _{0}$.