Secondo teorema di König

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In meccanica razionale, il secondo teorema di König (1751) afferma che l'energia cinetica totale di un sistema di punti materiali {(ri, mi)}iI, ove (ri, mi) ∈ IR3 × IR è una coppia posizione-massa e I un sottoinsieme di indici dei naturali, rispetto ad un dato sistema di riferimento (O,  \bar 1_1,  \bar 1_2,  \bar 1_3) è la somma:

 T = T' + T_{\text{CM}},

ove TCM è l'energia cinetica di traslazione del "centro di massa" (quella che avrebbe un corpo di massa pari a quella totale del sistema, con la velocità propria del centro di massa), e T' l'energia cinetica rispetto ad un riferimento con origine nel baricentro e assi invariabili rispetto al riferimento (O,  \bar 1_1,  \bar 1_2,  \bar 1_3)

Questo teorema ha moltissime applicazioni nella fisica, in quanto rende possibile utilizzare alcuni metodi sviluppati per il punto materiale anche con corpi estesi.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Consideriamo per semplicità il sistema come costituito da un numero N finito di punti materiali, ciascuno dei quali avente massa, posizione e velocità date rispettivamente da mi, ri e vi, in un sistema di riferimento qualsiasi.

L'energia cinetica totale del sistema risulta

T = \sum_i \frac{1}{2} m_i v_i^2

Sostituendo vi = v`i + vCM, dove v`i è la velocità dell`i-esimo punto materiale nel sistema di riferimento del centro di massa e vCM è la velocità del centro di massa nel sistema inerziale, risulta

T = \sum_i \frac{1}{2} m_i (\bar v'_i + \bar v_\text{CM})^2

che è anche

T = \sum_i \frac{1}{2} m_i (\bar v'_i + \bar v_\text{CM})\cdot(\bar v'_i + \bar v_\text{CM}) = \sum_i \frac{1}{2} m_i {v'_i}^2 + \bar v_\text{CM} \cdot \sum_i m_i \bar v'_i + \sum_i \frac{1}{2} m_i v_\text{CM}^2 .

Ponendo

T' = \sum_i \frac{1}{2} m_i {v'_i}^2

e

T_\text{CM} = \sum_i \frac{1}{2} m_i v_\text{CM}^2 = \frac 12 M v_\text{CM}^2,

ove M è la massa totale di tutti i punti materiali. Notiamo inoltre che  \sum_i m_i \bar v'_i , per definizione di baricentro, è pari a  M \bar v'_\text{CM} dove  \bar v'_\text{CM} è la velocità del baricentro rispetto al riferimento baricentrale, cioè nulla.

\sum_im_i \bar v'_i = 0,

risulta quindi

 T = T' + T_\text{CM}

come volevasi dimostrare.

Corpo rigido[modifica | modifica sorgente]

Per un corpo rigido, il termine che viene sommato all'energia del centro di massa rappresenta l'energia di rotazione attorno all'asse istantaneo di rotazione passante per il centro di massa. Infatti dal teorema fondamentale della cinematica del corpo rigido:

 T = \frac 12 M v_\text{CM}^2 + \sum_n \frac{1}{2} m_n {(\boldsymbol \omega \times \bar r_n)}^2 = \frac 12 M v_\text{CM}^2 +  \frac 12 \boldsymbol \omega \cdot (I_{CM} \boldsymbol \omega)

Globalmente l'energia cinetica assume quindi la forma:

T = \frac{1}{2} M v^2_\text{CM} + \frac{1}{2} \boldsymbol\omega\cdot (I_\text{CM}\boldsymbol\omega)

dove M è la massa totale, vCM è il modulo della velocità del centro di massa, ICM il tensore di inerzia del corpo rispetto al centro di massa e la velocità angolare ω.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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