Buca di potenziale

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In meccanica quantistica la buca di potenziale è un potenziale unidimensionale che commuta tra due valori, in corrispondenza di un certo intervallo 0 < x < a; il più piccolo dei due livelli di potenziale può essere sempre posto uguale a zero. Una funzione del tipo:

V(x) = \begin{cases}0 & 0 < x < a \\
\infty & x < 0 ; \, x > a \end{cases}

costituisce una buca di potenziale infinita[1], mentre

V(x) = \begin{cases}0 & 0 < x < a \\
V_0 & x < 0 ; \, x > a \end{cases}

definisce una di buca di potenziale finita.

Schema del potenziale unidimensionale delle buche di potenziale finita ed infinita.

In modo simile, si possono definire delle buche di potenziale in due o tre dimensioni.

Buca di potenziale infinita[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione di Schrödinger stazionaria in una dimensione è in generale

-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \psi (x) + V(x) \, \psi (x) = E \, \psi (x).

dove m è la massa della particella, E l'energia dello stato \psi.

Come mostrato in figura, il potenziale divide la regione in tre zone: la prima per x < 0, la seconda 0 < x < a e la terza per x > a; allora, il problema va trattato in ognuna delle tre zone e le soluzioni vanno poi raccordate in corrispondenza dei punti di separazione.

Chiaramente nella zona x < 0 e nella zona x > a l'unica soluzione per cui V(x) \to \infty si ha per

\psi(x) = 0, \qquad x<0, x>a.

Nella zona 0 < x < a, l'equazione di Schrödinger, per V(x) = 0, coincide con quella di una particella libera:

-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \psi (x) = E \, \psi (x),

in cui le energie devono essere positive, E > 0, in modo da avere soluzioni continue e normalizzabili. Possiamo, così, introdurre il vettore d'onda k, tale che k^2 = \frac{2 m E}{\hbar^2}, in modo da riscrivere l'equazione di Schrödinger come:

\frac{d^2}{dx^2} \psi (x) = - k^2 \, \psi (x)

Quest'ultima ha soluzione generale in termini degli esponenziali complessi e^{\pm i k x}:

\psi(x) = A e^{ikx}+ B e^{-ikx}

con A, B coefficienti reali arbitrari da determinarsi imponendo le condizioni al contorno. Ma per il nostro problema non esistono stati con E < 0. Quindi imponendo le condizioni al contorno:

\psi (0) = \psi (a ) = 0

otteniamo

\psi (x = 0) = A + B = 0

cioè A = - B

Inoltre per

\psi (x = a) = A e^{ika}+ B e^{-ika} = 0

da cui sostituendo le espressioni reali tramite la formula di Eulero:

k a = n \pi

Dunque le due soluzioni corrispondono a quest'unica soluzione:

\psi(x) = 2 A \sin (kx)

dove k a = n \pi a cui corrisponde una quantizzazione dell'energia, cioè la discretizzazione dell'energia della particella dipendente dal numero n = 1, 2, ... intero positivo:

\frac{n^2 \pi^2}{a^2} = \frac{2 m E}{\hbar^2} \, \, \rightarrow \, E_n = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2 m a^2} n^2

Le autofunzioni sono quindi:

\psi_n (x) = 2\,A\,\sin (k x)

Imponendo la normalizzazione degli stati, si ottiene la costante A:

\int_{-\infty}^{+\infty} dx \, |\psi(x)|^2 = 1 \, \, \Rightarrow \, \, \int_{0}^{a}  4 |A|^2 \sin^2 (kx) = 1

dalla quale:

 2\,a\,|A|^2 = 1
A = \frac{1}{\sqrt{2 a}}
Energia potenziale, autofunzioni e densità di probabilità associate allo stato fondamentale e ai primi stati eccitati della buca di potenziale infinita.

Le autofunzioni normalizzate

\psi(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin \left(\frac{n \pi}{a} x \right)

costituiscono una base ortonormale per lo spazio di Hilbert \mathcal{L}^2(0,a), essendo:

\int_{-\infty}^{\infty} \psi_{n}^{*} (x) \psi_m (x) \, dx = \delta_{nm}

Lo stato fondamentale corrisponde alla scelta n = 1. Seguono gli stati eccitati (vedi figura).

La soluzione completa del problema è esprimibile come sviluppo di autofunzioni dell'energia:

\Psi (x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \psi_n (x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sqrt{\frac{2}{a}} \sin (k x)

dove i coefficienti c_n sono dati da:

\int_{-\infty}^{\infty} \psi_{n}^{*} (x) \Psi (x) \, dx = \sum_{m=1}^{\infty} c_n \int_{-\infty}^{\infty} \psi_{n}^{*} (x) \psi_m (x) \, dx = c_n

i cui moduli quadri rappresentano la probabilità che una misura dell'energia fornisca come risultato:

E = E_n

Il valore medio dell'energia si ricava dalla:

\langle H \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \Psi^{*} (x)  H \Psi (x) \, dx = \sum_{n} c_n \int_{-\infty}^{\infty} \Psi^{*} (x) \psi_n (x) \, dx = \sum_n |c_n|^2 E_n

L'evoluzione temporale della funzione d'onda è la soluzione dell'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo:

i \hbar \frac{\partial \Psi (x, t)}{\partial t} = H \Psi(x,t)

e quindi è:

\Psi (x,t) = \sum_{n} c_n e^{- i E_n t / \hbar} \psi_n (x)

Buca di potenziale finita[modifica | modifica wikitesto]

Ridefiniamo la scala delle coordinate in modo che il potenziale in maniera sia simmetrico per riflessioni, del tipo x \to - x, e ridefiniamo la scala delle energie in modo da avere:

Buca di potenziale finita nella vecchia e nella nuova scala delle lunghezze e delle energie.
V(x) = 
\begin{cases} 
- V_0 &  \vert x \vert < a \\
0 & \vert x \vert > a 
\end{cases}.

In questo caso l'equazione di Schrödinger nelle zone  \vert x \vert > a e \vert x \vert < a è del tipo:


\begin{cases} 
-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \psi (x) + |E| \, \psi (x) = 0 & \,\vert x \vert > a  \\
-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \psi (x) + (V_0 - |E|) \, \psi (x) = 0 & \, \vert x \vert < a
\end{cases}

Poiché

V\left(x\right) = V\left(-x\right),

l'operatore hamiltoniano commuta con l'operatore parità:

\left[H, P\right] = 0

Le funzioni d'onda soluzione dell'equazione di Schrödinger sono autofunzioni dell'energia e della parità. Poniamo le due quantità reali:

\lambda^2 = \frac{2 m |E|}{\hbar^2}
q^2 = \frac{2 m (V_0 -|E|)}{\hbar^2}

l'equazione di Schrödinger si riscrive:


\begin{cases} 
\frac{d^2}{dx^2} \psi (x) - \lambda^2 \psi (x) = 0 & \, |x| > a \\
\frac{d^2}{dx^2} \psi (x) + q^2 \psi (x) = 0 & \, |x| < a
\end{cases}

Esplicitamente le funzioni d'onda sono date da:

\psi(x) = \begin{cases} e^{i \lambda x} + B e^{- i \lambda x} & \, x < - a \\
C \psi^+ (x) + D \psi^- (x) & \, - a \le x \le a \\
D e^{i \lambda x} &  \, x > a \end{cases}

dove le autofunzioni:

\psi^+ \left(x\right) = \psi^+ \left(-x\right)

sono a parità pari, mentre

\psi^- \left(x\right) = - \psi^- \left(-x\right)

sono a parità dispari.

Trattiamo il caso delle autofunzioni pari prendendo gli eponenziali reali:

\psi^+ (x) = \begin{cases} B e^{\lambda x} & \, x < - a \\
C \cos (q x) & \, - a \le x \le a \\
B e^{-\lambda x} &  \, x > a \end{cases}

per la parità delle autofunzioni basta imporre la condizione di continuità della funzione d'onda e della sua derivata prima in x = -a perché la stessa condizione sia soddisfatta in x=a:

\psi^+ (x) = \begin{cases} B e^{- \lambda a} = C \cos(q\,a) \\
B \lambda e^{- \lambda a} = C q \sin (q\,a) \end{cases}

da queste due otteniamo:

q \tan (q\,a) = \lambda

La soluzione di questa equazione può essere fatta via grafica; ponendo:

y=q\,a, \qquad y_0^2 = \frac{2 m V_0 a^2}{\hbar^2}

otteniamo:

\lambda^2\,a^2 = y_0^2 - q^2\,a^2 = y_0^2 - y^2\text{.}

Graficando i due membri dell'equazione:

\tan y = \frac{\sqrt{y_0^2 - y^2}}{y} \qquad \mbox{ per } \quad y^2 \le y_0^2

otteniamo dalle intersezioni le soluzioni che corrispondono ai livelli di energia discreti.

Allo stesso modo nel caso delle autofunzioni dispari:

\psi^- (x) = \begin{cases} B^{\prime} e^{\lambda x} & \, x < - a \\
C^{\prime} \sin (q x) & \, - a \le x \le a \\
B^{\prime} e^{-\lambda x} &  \, x > a \end{cases}

per la parità delle autofunzioni basta imporre la condizione di continuità della funzione d'onda e della sua derivata prima in x = a perché la stessa condizione sia soddisfatta in x = -a:

\psi^- (x) = \begin{cases} B^{\prime} e^{- \lambda a} = - C^{\prime} \sin (qa) \\
B^{\prime} \lambda e^{- \lambda a} = C^{\prime} q \cos (qa) \end{cases}

da queste due otteniamo:

q \cot (q\,a) = -\lambda

La soluzione di questa equazione può essere fatta via grafica, graficando i due membri dell'equazione:

- \cot y = \frac{\sqrt{y_0^2 - y^2}}{y} \qquad \mbox{ per } \quad y^2 \le y_0^2

che possiamo riscrivere nella forma:

 \tan y =- \frac{y}{\sqrt{y_0^2 - y^2}} \qquad \mbox{ per } \quad y^2 \le y_0^2

Otteniamo dalle intersezioni le soluzioni che corrispondono ai livelli di energia discreti.

Energia potenziale e densità di probabilità associate agli autostati dell buca di potenziale finita nel caso y0=6.

Ad esempio, per y_0=6, le soluzioni grafiche sono mostrate in figura. Notiamo che ogni autostato è doppiamente degenere.


Le autofunzioni sono quindi:

\psi_{E} (x) = \begin{cases} e^{-\lambda |x|} & \, |x| > a \\
\psi^+ (x) = \cos (q x) & \, |x| \le a \\
\psi^- (x) = \sin (q x) & \, |x| \le a 
\end{cases}

dove \lambda e q sono definite sopra e legate tra loro.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Sarebbe più corretto dire "buca di potenziale di profondità infinita (o finita)", ma l'espressione più breve è comunemente utilizzata dai fisici

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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