Numero palindromo

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Un numero è palindromo quando le sue cifre, se scritte in una particolare base, rappresentano lo stesso valore sia che siano lette da destra che da sinistra.

Definizione formale[modifica | modifica wikitesto]

Stando alla sua definizione, il concetto di palindromicità di un numero viene applicato solo nell'insieme dei numeri interi, ed inoltre il numero preso in considerazione può essere scritto in qualsiasi base.

Sia n un numero intero e sia a0a1a2...ak la sua rappresentazione in cifre in una certa base b ≥ 2 (con a0 ≠ 0). Allora n è palindromo se e solo se per ogni intero 0≤i≤k si ha ai=ak-i

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Un esempio di numero palindromo può essere:

12345654321

si può notare infatti che esso è simmetrico rispetto al suo centro:

12345\ 6\ 54321

quindi vale la definizione.

Numero di numeri palindromi minori di una potenza di dieci[modifica | modifica wikitesto]

Se si studia il numero dei numeri palindromi scritti in base 10 ed inferiori ad una certa potenza di 10 ci si può accorgere che esiste una certa regolarità

  • Tutti i numeri con una sola cifra sono palindromi, quindi vi sono 10 numeri palindromi minori di 101.
  • I palindromi con due cifre sono nove (in effetti i multipli di 11 minori di 100), quindi esistono 19 numeri palindromi minori di 102.
  • Esistono 90 palindromi con 3 cifre quindi 109 palindromi minori di 103.
  • I palindromi minori di 104 sono 199.

Se si prosegue con questo ragionamento incrementando le potenze di dieci si può ottenere la successione[1]:

10,\,19,\,109,\,199,\,1099,\,1999,\,10999,\,19999,\,109999,\,199999,\,1099999,\, ...

La tabella seguente indica il numero di numeri palindromi minori di una certa potenza di dieci che possiedono una certa caratteristica

  101 102 103 104 105 106 107 108 109 1010
n naturale 10 19 109 199 1099 1999 10999 19999 109999 199999
n pari 5 9 49 89 489 889 4889 8889 48889 88889
n dispari 5 10 60 110 610 1110 6110 11110 61110 111110
n quadrato perfetto 4 7 14 15 20 31
n cubico 3 4 5 7 8
n primo (vedi anche: Primo palindromo) 4 5 20 113 781 5953
n privo di quadrati 6 12 67 120 675 1200 6821 12160 + +
n non privo di quadrati (μ(n)=0) 4 7 42 79 424 799 4178 7839 + +
n quadrato perfetto con radice prima root 2 3 5
n con un numero pari di fattori primi distinti (μ(n)=1) 2 6 35 56 324 583 3383 6093 + +
n con un numero dispari di fattori primi distinti (μ(n)=-1) 4 6 32 64 351 617 3438 6067 + +
n pari con un numero dispari di fattori primi 1 2 9 21 100 180 1010 6067 + +
n pari con un numero dispari di fattori primi distinti 3 4 21 49 268 482 2486 4452 + +
n dispari con un numero dispari di fattori primi 3 4 23 43 251 437 2428 4315 + +
n dispari con un numero dispari di fattori primi distinti 4 5 28 56 317 566 3070 5607 + +
n pari, non quadrato perfetto, con un numero pari di fattori primi distinti 1 2 11 15 98 171 991 1782 + +
n dispari, non quadrato perfetto, con un numero pari di fattori primi distinti 1 4 24 41 226 412 2392 4221 + +
n dispari con esattamente due fattori primi 1 4 25 39 205 303 1768 2403 + +
n pari con esattamente 2 fattori primi 2 3 11 64 413 + +
n pari con esattamente 3 fattori primi 1 3 14 24 122 179 1056 1400 + +
n pari con esattamente 3 fattori primi distinti 0 1 18 44 250 390 2001 2814 + +
n dispari con esattamente 3 fattori primi 0 1 12 34 173 348 1762 3292 + +
n numero di Carmichael 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
n per il quale σ(n) è palindromo 6 10 47 114 688 1417 5683 + + +

Potenze perfette[modifica | modifica wikitesto]

Esistono vari numeri palindromi che sono anche potenze di altri numeri. Attualmente sono conosciuti solo numeri palindromi che possono essere espressi con una potenza di esponente 2, 3 o 4:

  • I primi quadrati perfetti palindromi sono: 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, 14641, 40804, 44944, ...[2]
  • I primi numeri palindromi che possiedono una radice cubica intera sono: 0, 1, 8, 343, 1331, 1030301, 1367631, 1003003001, ... [3]
  • I primi numeri palindromi esprimibili con una potenza di esponente 4 sono: 0, 1, 14641, 104060401, 1004006004001, ... [4]

G. J. Simmons e D. Rawlinson congetturano che non esistano palindromi esprimibili con potenze di esponente 4[5].

L'unico numero non palindromo conosciuto il cui cubo è un palindromo è 2201.

Formula generatrice di numeri palindromi in base 10[modifica | modifica wikitesto]

In base 10 una formula generatrice di parecchi numeri palindromi è la successione

a(n)=(10^n+1)^k \mbox{ con } n,k \in \mathbb{N}

Per esempio con k=3 e n=4 si ottiene:

(10^4+1)^3=1000300030001

Questa formula però non genera sempre numeri palindromi a partire da k>4. Infatti, se proviamo con k=5 ed n=2, otteniamo:

(10^2+1)^5=10510100501

che è evidentemente un numero non palindromo. Inoltre non tutti i numeri palindromi vengono generati da questa formula, in effetti i numeri di una sola cifra sono palindromi ma non vengono generati.

Generazione di numeri palindromi da numeri repunit[modifica | modifica wikitesto]

Un repunit è un numero scritto utilizzando esclusivamente la cifra 1. In base 10 è possibile generare un numero palindromo tramite moltiplicazione di due numeri repunit.

Se prendiamo due repunit tali che il prodotto del numero delle cifre del primo per il numero delle cifre del secondo è minore o uguale di 100 e li moltiplichiamo tra di loro otteniamo un numero palindromo.

Per esempio il numero 111 111 111 111 possiede 12 cifre, il numero 1 111 111 possiede 7 cifre, 7×12=84≤100 quindi:

 111\,111\,111\,111\times 1\,111\,111= 123\,456\,777\,777\,654\,321

che è un numero palindromo.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) Sequenza A070199 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  2. ^ (EN) Sequenza A002779 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  3. ^ (EN) Sequenza A002781 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  4. ^ (EN) Sequenza A186080 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  5. ^ (EN) Murray S. Klamkin, Problems in applied mathematics: selections from SIAM review, Philadelphia, SIAM, 1990, p. 577, ISBN 0-89871-259-9.

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