Numero di Sierpiński

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In matematica, un numero di Sierpiński è un numero positivo dispari k tale che tutti gli interi della forma k \cdot 2^n+1sono composti per ogni numero naturale n.

In altre parole, quando k è un numero di Sierpiński, tutti gli elementi di questo insieme sono composti:

\left\{\,k 2^n + 1 : n \in\mathbb{N}\,\right\}

Nel 1960 Wacław Sierpiński dimostrò che esiste un numero infinito di interi dispari che, usati al posto di k, non producono numeri primi.

I numeri di Sierpiński attualmente conosciuti sono:

78557, 271129, 271577, 322523, 327739, 482719, 575041, 603713, 903983, 934909, 965431, …[1].

Problema di Sierpiński[modifica | modifica wikitesto]

Il problema di Sierpiński chiede: "Qual è il più piccolo numero di Sierpiński?"

Nel 1962, John Selfridge congetturò che 78557 fosse la risposta al problema. Selfridge dimostrò che per k = 78557 nessuno dei numeri prodotti dall'equazione è primo. In altre parole, Selfridge dimostrò che 78557 è un numero di Sierpiński. 78557 ha i fattori 17 e 4621.

Per dimostrare che 78557 è veramente il più piccolo numero di Sierpiński, è necessario mostrare che tutti i numeri dispari minori di 78557 non lo sono. Fino al 2000, ciò era stato dimostrato per tutti i numeri eccetto diciassette.

A dicembre 2013, sono rimasti solo sei candidati:

k = 10223, 21181, 22699, 24737, 55459, 67607

che ancora non sono stati eliminati dalla lista dei possibili numeri di Sierpiński.

Seventeen or Bust, insieme a PrimeGrid, è un progetto di calcolo distribuito che sta testando tutti questi rimanenti numeri. Se il progetto trova un numero primo nella forma k2n+1 per ciascuno dei restanti k, il problema di Sierpiński sarà risolto e la congettura di Selfridge dimostrata come teorema.

Siccome il secondo numero dimostrato come numero di Sierpiński è 271129, i valori ignoti di k fra 78557 e 271129 sono:

79309, 79817, 91549, 99739, 131179, 152267, 156511, 163187, 168451, 193997,
200749, 202705, 209611, 222113, 225931, 227723, 229673, 237019, 238411

Analogamente alla ricerca sui numeri di Sierpiński esiste la ricerca sui Numeri di Riesel che sono della forma k2n − 1.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) Sequenza A076336 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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