Numero di Riesel

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In matematica, un numero di Riesel è un numero naturale dispari k tale che ogni intero della forma k \cdot 2^n-1 sia un numero composto, ovvero non sia un numero primo.

In altre parole, quando k è un numero di Riesel, tutti i numeri del seguente insieme sono composti:

\left\{\,k \cdot 2^n - 1 : n \in\mathbb{N}\,\right\}

Nel 1956, Hans Riesel dimostrò che esistono infiniti interi k tali che k \cdot 2^n-1 non è primo per ogni intero n. Egli mostrò che il numero 509203 ha questa proprietà, e lo stesso vale per i numeri nella forma :509203 + 11184810 \cdot k; k\in\mathbb{N}.

Per dimostrare che un certo numero è un numero di Riesel, bisogna trovare un "insieme ricoprente". Un insieme ricoprente è un insieme di numeri primi piccoli tali che ogni membro di una certa successione sia divisibile per uno di essi, ed è chiamato così perché si dice che "ricopre" quella successione. Gli unici numeri di Riesel comprovati più piccoli di un milione hanno i seguenti insiemi ricoprenti:

  • 509\,203 \cdot 2^n -1 ha l'insieme ricoprente {3, 5, 7, 13, 17, 241}
  • 762\,701 \cdot 2^n -1 ha l'insieme ricoprente {3, 5, 7, 13, 17, 241}
  • 777\,149 \cdot 2^n -1 ha l'insieme ricoprente {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}
  • 790\,841 \cdot 2^n -1 ha l'insieme ricoprente {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}
  • 992\,077 \cdot 2^n -1 ha l'insieme ricoprente {3, 5, 7, 13, 17, 241}

Un problema tuttora irrisolto è il cosiddetto problema di Riesel, ovvero la determinazione del più piccolo numero di Riesel.

Non essendo stato individuato alcun insieme ricoprente per valori di k inferiori a 509203, si congettura che questo sia il numero di Riesel più piccolo. Ad ogni modo, 75 valori di k inferiori a 509 203 hanno restituito solo numeri composti per tutti i valori di n provati finora. I più piccoli fra di essi sono 2 293, 9 221, 23 669, 26 773, 31 859, 38 473, 40 597, 46 663, 65 531, 67 117 e 74 699. Sono stati individuato i fattori primi di 21 numeri grazie al progetto Riesel Sieve (analogo a Seventeen or Bust per i numeri di Sierpinski).

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