Nucleo di sommabilità

In matematica, un nucleo di sommabilità è una famiglia o sequenza di funzioni integrabili periodiche che soddisfano un certo insieme di proprietà, elencate di seguito. Alcuni nuclei, come il nucleo di Fejér, sono particolarmente utili nell'analisi di Fourier. I kernel di sommabilità sono legati all'approssimazione dell'identità.

Definizione

Sia $\mathbb {T} :=\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z}$ il toro. Un nucleo di sommabilità è una sequenza $(k_{n})$ in $L^{1}(\mathbb {T} )$ che soddisfa

1. ${\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {T} }k_{n}(t)\,dt=1$
2. $\|k_{n}\|_{1}\leq M$ (uniformemente limitata)
3. $\int _{\delta \leq |t|\leq \pi }|k_{n}(t)|\,dt\to 0$ come $n\to \infty$, per ogni $\delta >0$ .

Si noti che se $k_{n}\geq 0$ per ogni $n$, allora $(k_{n})$ è detto essere un nucleo di sommabilità positivo, quindi il secondo requisito segue automaticamente dal primo.

Esempi

• Il nucleo di Fejér è un nucleo di sommabilità.
• Il nucleo di Dirichlet non è un nucleo di sommabilità, poiché non soddisfa il secondo requisito.

Convoluzioni

Sia $(k_{n})$ un nucleo di sommabilità, e denotiamo con $*$ l'operatore di convoluzione.

• Se $f\in {\mathcal {C}}(\mathbb {T} )$ (funzioni continue su $\mathbb {T}$), allora $k_{n}*f\to f$ in ${\mathcal {C}}(\mathbb {T} )$ uniformemente (cioè in norma infinito) quando $n\to \infty$.
• Se $f\in L^{1}(\mathbb {T} )$, poi $k_{n}*f\to f$ in $L^{1}(\mathbb {T} )$, come $n\to \infty$ .
• In generale, se $f\in L^{p}(\mathbb {T} ),\ 1\leq p<\infty$, allora $k_{n}*f\to f$ in $L^{p}(\mathbb {T} )$, per $n\to \infty$
• Se $(k_{n})$ è simmetrico radialmente decrescente e $f\in L^{1}(\mathbb {T} )$, allora $k_{n}*f\to f$ puntualmente quasi ovunque per $n\to \infty$ . Questo fatto utilizza la funzione massimale di Hardy–Littlewood . Se $(k_{n})$ non è simmetrico radialmente decrescente, ma la simmetrizzazione decrescente ${\widetilde {k}}_{n}(x):=\sup _{|y|\geq |x|}k_{n}(y)$ soddisfa $\sup _{n\in \mathbb {N} }\|{\widetilde {k}}_{n}\|_{1}<\infty$, allora la convergenza quasi ovunque è ancora valida, usando un argomento simile.