Metodo delle corde

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Le prime tre iterazioni del metodo delle secanti con estremo fisso. La curva blu è la funzione f(x), ed i segmenti rossi sono le secanti.

In matematica, e più specificamente in analisi numerica, il metodo delle corde (o metodo delle secanti con estremo fisso[1]) è uno dei metodi più semplici per il calcolo approssimato di una soluzione di un'equazione della forma \,f(x)=0. Esso si applica dopo avere determinato un intervallo \,[a,b] che contiene una sola radice.

Il metodo consiste nel costruire una successione di punti con il seguente criterio: assegnato un punto iniziale \,x_{0}, per ogni \,n \geq 0 il punto \,x_{n+1} sia lo zero della retta passante per il punto \,(x_{n},f(x_{n})) e di coefficiente angolare

m = \frac{f(a)-f(x_{n})}{a-x_{n}},

ovvero quello della retta passante per \,(x_{n},f(x_{n}))\, , \,(a,f(a)).

Iterando il procedimento del calcolo dell'intersezione delle varie rette con l'asse delle ascisse, si ottiene la relazione di ricorrenza

x_{n+1}=x_n-f(x_n)\frac{a-x_n}{f(a)-f(x_n)}.

Il metodo delle corde converge linearmente se - detta \,\alpha la soluzione corretta - vale

0 < \frac{f'(\alpha)}{m} < 2.

In altri termini, m e f'(\alpha) devono avere lo stesso segno e l'intervallo \,[a,b] deve soddisfare la condizione

b-a < 2 \frac{f(b)-f(a)}{f'(\alpha)}.

Negli altri casi il metodo potrebbe non convergere affatto.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Laura Gori, Calcolo numerico, Roma, Edizioni Kappa, 2006, p. 65, ISBN 88-7890-739-1.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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