Metodo dell'inversione

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Il metodo dell'inversione, noto anche come trasformazione integrale di probabilità, è una tecnica per generare un campione di numeri casuali distribuiti secondo una data distribuzione casuale, nota la sua funzione di distribuzione di probabilità. Questo metodo è sufficientemente generico, ma può essere computazionalmente troppo oneroso in pratica per talune distribuzioni di probabilità. Una metodologia che applica un algoritmo meno generico ma computazionalmente più efficiente è la trasformata di Box-Muller.

Presupposto[modifica | modifica wikitesto]

Il metodo dell'inversione si basa sul fatto che se X è una variabile casuale continua con una funzione di ripartizione strettamente crescente FX e Y = FX(X), allora Y ha una distribuzione uniforme nell'intervallo [FX_minFX_max].

Il metodo[modifica | modifica wikitesto]

Il problema risolto tramite il metodo dell'inversione è descrivibile nella maniera seguente:

  • È data X variabile casuale la cui distribuzione può essere descritta tramite la funzione di ripartizione F;
  • L'obiettivo è ottenere dei valori di X tali che siano distribuiti secondo tale funzione.

Molti linguaggi di programmazione hanno la capacità di generare sequenze di numeri pseudo-casuali, che sono effettivamente distribuiti uniformemente. Se una variabile casuale ha tale distribuzione, allora la probabilità di cadere in ogni sottointervallo (ab) dell'intervallo tra 0 e 1 è semplicemente la lunghezza ba.

Il metodo procede come segue:

  1. Genera un numero casuale distribuito uniformemente, detto u;
  2. Calcola il valore x tale che F(x) = u; chiamamo tale valore x*;
  3. x* è il numero casuale distribuito secondo F.

In altro modo, data una variabile casuale uniforme continua U in [0, 1] e una funzione di ripartizione invertibile F, la variabile casuale X = F −1(U) è distribuita secondo F (o, equivalentemente X ha la distribuzione F).

È dimostrabile la caratterizzazione di tali funzioni inverse come soluzioni di determinate equazioni differenziali[1]. Alcune di queste equazioni ammettono tra le soluzioni esplicite delle serie di potenze, nonostante la non linearità delle equazioni stesse.

Dimostrazione della correttezza[modifica | modifica wikitesto]

Assumiamo che F sia una distribuzione di ripartizione, continua, e che F^{-1} sia la sua inversa:[2]

F^{-1}(u) = \inf\;\{x \mid F(x)=u, 0<u<1\}

Tesi: Se U è una variabile casuale uniforme tra (0, 1) allora F^{-1}(U) segue la distribuzione F

Dimostrazione:


\begin{align}
& \Pr(F^{-1}(U) \leq x) \\
& {} = \Pr(\inf\;\{x \mid F(x)=U\} \leq x)\quad \text{(dalla definizione di }F^{-1}) \\
& {} = \Pr(U \leq F(x)) \quad \text{(applicando }F,\text{ che } \grave{e} \text{ monotona da entrambi i lati)} \\
& {} = F(x)\quad \text{(perch}\acute{e} ~ \Pr(U \leq y) = y,\text{ dato che }U ~ \grave{e} \text{ uniforme nell}^' \text{intervallo)}
\end{align}

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Steinbrecher, G., Shaw, W.T. (2008). Quantile mechanics. European Journal of Applied Mathematics 19 (2): 87-112.
  2. ^ Luc Devroye. Non-Uniform Random Variate Generation. New York: Springer-Verlag, 1986. (online) Vedere il capitolo 2, sezione 2, p. 28.