Interpolazione di Lagrange

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In analisi numerica l'interpolazione di Lagrange è un particolare tipo di interpolazione polinomiale, fu scoperta per la prima volta da Edward Waring nel 1779 e dopo riscoperta da Leonhard Euler nel 1783.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Data una funzione f(x) e n punti a_1,a_2...a_n per cui sono noti i valori f(a_1),f(a_2)...f(a_n) si definisce il polinomio interpolatore di Lagrange della funzione f il polinomio

P(x) = \sum_{i=1}^n {f(a_i) \prod_{j \neq i}^n{\frac{x - a_j}{a_i - a_j}}}

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Per ogni i=1,2...n si ha P(a_i) = f(a_i) e per qualsiasi x si ha

f(x) = P(x) + \frac{1}{n!}\prod_{i = 1}^{n}{(x - a_i)} f^{(n)}(\xi)

dove \xi è un valore incognito funzione di x appartenente all'intervallo minimo a cui appartengono i punti a_1,a_2...a_n e x.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Per semplicità scriviamo

p_n(x) = \prod_{i = 1}^n (x - a_i)

per cui

P(x) = \sum_{i=1}^n {f(a_i) g_i(x)}

dove

g_i(x) = \frac{p_n(x)}{(x - a_i)p_n'(a_i)} = \prod_{j \neq i}{\frac{x - a_j}{a_i - a_j}}

ora abbiamo che per ogni i \neq j accade che g_i(a_j) = 0 poiché l'espressione di g_i(x) contiene un fattore x - a_j a denominatore, del resto g_i(a_i) = 1 per ogni i da cui P(a_i) = f(a_i).

Adesso consideriamo la funzione

F(z) = f(z) - P(z) - [f(x) - P(x)]\frac{p_n(z)}{p_n(x)}

quando x \neq a_i \forall i, essa ha n + 1 zeri nei punti a_1,a_2...a_n e x, derivando n volte

F^{(n)}(z) = f^{(n)}(z) - P^{(n)}(z) - [f(x) - P(x)]\frac{p_n^{(n)}(z)}{p_n(x)}

Dall'applicazione del teorema di Rolle per n volte la funzione F^{(n)}(z) ha almeno uno zero \xi nell'intervallo minimo che contiene a_1,a_2...a_n e x.

Sappiamo che p_n(x) è un polinomio di grado n il cui coefficiente di x^n è 1, per cui p_n^{(n)}(x) = n!, invece P(x) è un polinomio di grado n - 1 per cui P^{(n)}(x) = 0, infine

F^{(n)}(z) = f^{(n)}(z) - P^{(n)}(z) - [f(x) - P(x)]\frac{n!}{p_n(x)}

0 = F^{(n)}(\xi) = f^{(n)}(\xi) - [f(x) - P(x)]\frac{n!}{p_n(x)}

da cui

f(x) - P(x) =  \frac{p_n(x)}{n!}f^{(n)}(\xi)

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]