Funzioni di Lommel

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In matematica, con funzioni di Lommel, in riferimento a Eugen von Lommel, vengono identificati diversi tipi di funzioni tra cui le soluzioni dell'equazione di Lommel, una generalizzazione dell'equazione di Bessel. Esse possono essere:

  • funzioni dipendenti da una sola variabile z, indicate con s_{\mu,\nu}(z) e S_{\mu,\nu}(z), dove \mu,\nu sono parametri. Sono state studiate da Lommel nel 1876.
  • funzioni dipendenti da due variabili w,z denotate con U_n(w,z) e V_n(w,z), studiate da Lommel nel 1886.

Funzioni di Lommel dipendenti da una sola variabile[modifica | modifica wikitesto]

Le funzioni di Lommel dipendenti da una sola variabile s_{\mu,\nu}(z) e S_{\mu,\nu}(z) soddisfano l'equazione differenziale lineare detta equazione di Lommel:

 z^2 \frac{dy}{dz^2}+ z\frac{dy}{dz} +(z^2-\nu^2) y = z^{\mu+1}

La funzione s_{\mu,\nu}(z) è la soluzione, sviluppabile come serie di potenze:

 s_{\mu,\nu}(z) = z^{\mu-1} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (z/2)^{2n+2} \Gamma((\mu-\nu+1)/2) \Gamma((\mu+\nu+1)/2)}{ \Gamma((\mu-\nu+3)/2+n) \Gamma((\mu+\nu+3)/2+n) }

Le soluzioni dell'equazione differenziale lineare sono s_{\mu,\nu}(z) + A J_\nu(z)+B J_{-\nu}(z) dove J_{\pm \nu} sono funzioni di Bessel.

La funzione di Lommel S_{\mu,\nu}(z) è definita come:

 S_{\mu,\nu}(z)=s_{\mu,\nu}(z) +\frac{2^{\mu-1}\Gamma((\mu-\nu+1)/2)\Gamma((\mu+\nu+1)/2)}{\sin \pi \nu}\left[\cos (\pi(\mu-\nu)/2) \;  J_{-\nu}(z)- \cos (\pi(\mu+\nu)/2)\;  J_{\nu}(z)\right] .

Le funzioni di Anger, le funzioni di Weber e le funzioni di Struve sono casi particolari delle funzioni di Lommel.

Funzioni di Lommel dipendenti da due variabili[modifica | modifica wikitesto]

Le funzioni U_n(w,z) e V_n(w,z) sono definite come serie di Neumann, ossia come uno sviluppo costruito sulle funzioni di Bessel:

 U_{\nu}(w,z)=\sum_{m=0}^\infty (-1)^m \left(\frac w z \right)^{\nu+2m} J_{\nu+2m}(z)
 V_{\nu}(w,z)=\cos\left( \frac w 2 +\frac{z}{2w}+\frac{\nu \pi} 2\right) + U_{2-\nu}(w,z)

Queste funzioni sono importanti nella teoria della diffrazione.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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